Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni in cui l'incognita \(x\) è elevata al quadrato, ovvero disequazioni della forma
$$ ax^2+bx+c \geq0 \ \mbox{ oppure } \ ax^2+bx+c \leq0 ,$$
o eventualmente con i segni "stretti" \(>\) o \(<\).
Ricordiamo che \(a,b,c\) sono dei numeri reali e inoltre vogliamo che \(a\) sia diverso da \(0\), altrimenti l'equazione sarebbe di primo grado.
L'insieme delle soluzioni di una disequazione è in generale costituito da intervalli di numeri reali, delimitati come vedremo dalle soluzioni dell'equazione di secondo grado associata.
Sfrutteremo un'interpretazione geometrica delle equazioni (e disequazioni) di secondo grado, che permette di rendere più semplice e meno mnemonico lo studio di questi argomenti.
Se rappresentiamo sul piano cartesiano l'equazione \(y=ax^2+bx+c\) otteniamo una parabola, convessa se \(a>0\) e concava se \(a< 0\).

\(y=ax^2+bx+c\) è l'equazione di una parabola. Usa i pulsanti per vedere come cambia la concavità della parabola a seconda del segno del coefficiente \(a\).
Per comodità possiamo sempre fare riferimento alla parabola convessa, cioè con \(a \gt0\), infatti è sufficiente moltiplicare entrambi i membri della disequazione per \(-1\) (ricordandosi di cambiare il verso della disuguaglianza) per portarla nella forma opportuna, ovvero con \(a>0\).
Se abbiamo la disequazione $$-3x^2 +2x +5 \geq 0$$ moltiplichiamo entrambi i membri della disequazione per \(-1\) (ricordando di invertire la relazione!) e otteniamo $$3x^2-2x-5 \leq 0$$

Risoluzione di una disequazione di secondo grado

Per risolvere una disequazione di secondo grado \(ax^2+bx+c \ge 0\) (o uno degli altri segni di disuguaglianza) con \(a \gt 0\) dobbiamo:
1) Trovare le soluzioni della equazione di secondo grado associata
$$ ax^2+bx+c=0 .$$
2) Disegnare schematicamente una parabola (con concavità rivolta verso l'alto poiché abbiamo fatto in modo di avere \(a \gt 0\)) a seconda delle soluzioni trovate e decidere quali sono gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione di partenza.


1) Come abbiamo visto nella lezione sulle equazioni di secondo grado, questo tipo di equazioni possono ammettere 2, 1 oppure 0 soluzioni a seconda del segno del discriminante.
2) Le soluzioni dell'equazione associata, geometricamente, sono i punti in cui una parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\) interseca l'asse delle ascisse. Se \(\Delta>0\) troviamo due soluzioni quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle \(x\) due volte. Se \(\Delta=0\) troviamo una sola soluzione, quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle \(x\) una volta (ovvero è tangente all'asse delle \(x\)). Infine se \(\Delta< 0\) non ci sono soluzioni, dunque la parabola non interseca mai l'asse delle \(x\) e la disegniamo staccata sopra di esso.

Il discriminante \(\Delta\) dell'equazione associata ci dice se la parabola interseca l'asse \(x\) 2,1 o 0 volte. Clicca sui pulsanti per vedere le diverse possibilità.

La disequazione di partenza ci chiede per quali \(x\) la parabola sta sopra (\(\geq, > \)) o sotto (\(\leq, < \)) l'asse delle ascisse. Vediamo come si ricavano dal disegno della parabola.
Consideriamo la disequazione
$$ax^2 + bx + c \geq 0 \ \, \ \mbox{con } a>0 \qquad (ax^2 + bx + c > 0 ) $$
  • se \(\Delta\) > 0 l'equazione associata ha due soluzioni \(x_1, x_2\) con \(x_1< x_2\) e la parabola sta sopra l'asse \(x\) per valori esterni alle \(x_1,x_2\) trovate, pertanto la disequazione avrà come soluzione $$x\leq x_1 \lor x\geq x_2 \ \qquad (x< x_1 \lor x> x_2 \ \mbox{se il segno è stretto})$$
  • se \(\Delta=0\) l'equazione associata ammette una soluzione, che chiameremo \(x_1\), la parabola è strettamente sopra l'asse orizzontale per qualsiasi valore di \(x\) mentre interseca l'asse nel punto \(x_1\), quindi la disequazione avrà come soluzione $$\forall x \in \mathbb{R} \ \qquad (\forall x \in \mathbb{R}-\{x_1\} \ \mbox{se il segno è stretto})$$ infatti se la disequazione ha il segno stretto dobbiamo togliere dalle soluzioni il punto di contatto (dove la parabola è uguale a zero).
  • se \(\Delta\)< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma attenzione! non è detto che la disequazione sia impossibile! Infatti, questa parabola non tocca mai l'asse delle ascisse, ma sta sempre sopra, è sempre positiva , quindi la disequazione è sempre vera $$\forall x \in \mathbb{R}$$
Vediamo ora l'altra disuguaglianza:
$$ax^2 + bx + c \leq 0 \ \, \ \mbox{con } a>0 \qquad (ax^2 + bx + c < 0 ) $$
  • se \(\Delta\) > 0 l'equazione associata ha due soluzioni \(x_1, x_2\) con \(x_1< x_2\), la parabola sta sotto l'asse \(x\) per valori interni alle \(x_1,x_2\) trovate e la disequazione ha quindi come soluzione $$x_1\leq x\leq x_2 \ \qquad (x_1< x< x_2 \ \mbox{se il segno è stretto})$$
  • se \(\Delta=0\) l'equazione associata ammette una soluzione, che chiameremo \(x_1\) e la disequazione avrà come soluzione $$ x=x_1 \ \qquad (\not\exists x \in \mathbb{R} \ \mbox{se il segno è stretto})$$ infatti in questo caso la parabola sta sempre sopra l'asse delle ascisse e lo tocca solo nel punto \(x_1\), quindi non è mai \(\leq 0 \), tranne in \(x_1\) dove vale \(0\), per cui la disequazione ha una soluzione se il segno non è stretto (e quindi \(0\) è soluzione), ed è impossibile se il segno è stretto.
  • se \(\Delta\)< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma questa volta anche la disequazione non ha soluzioni, perchè non è mai negativa $$\not\exists \ x \in \mathbb{R}$$

Vediamo qualche esempio di quanto visto finora.
Esempio 1: consideriamo la disequazione: $$x^2-5x+6\geq 0$$ Il coefficiente di \(x^2\) è \(1>0\) quindi siamo nella forma giusta! Risolviamo innanzitutto l'equazione associata: $$x^2-5x+6=0$$ Il discriminante è \(\Delta=1\), quindi abbiamo due soluzioni dell'equazione associata che sono $$x_1=2 \ \mbox{e} \ \ x_2=3.$$ Disegniamo la parabola
parabola disequazioni secondo grado
e vediamo subito che i punti in corrispondenza dei quali la parabola è positiva sono $$x\leq 2 \lor x\geq 3 $$
Esempio 2: consideriamo la disequazione $$-x^2 + 3x -4 >0.$$ Questa volta il coefficiente di \(x^2\) è \(-1< 0\), cambiamo quindi i segni e invertiamo la relazione, ottenendo: $$x^2 - 3x +4 < 0.$$ L'equazione associata \(x^2 - 3x +4 = 0\) ammette due soluzioni \(x_1=-1 \ \mbox{e} \ x_2=4\), andiamo a disegnare la parabola nel piano
parabola disequazioni secondo grado
e come si vede dal disegno la soluzione è $$-1 < x < 4 $$
Esempio 3: consideriamo la disequazione $$ 4x^2 -4x + 1 \leq 0.$$ Il coefficiente di \(x^2\) è \(4> 0\), quindi va bene così.
L'equazione associata \(4x^2 -4x + 1 = 0\) ammette una sola soluzione \(x_1=\frac{1}{2}\), infatti il \(\Delta\) è uguale a \(0\).
Disegniamo la parabola nel piano
parabola disequazioni secondo grado
La parabola è sempre sopra l'asse delle ascisse, quindi è sempre positiva, tranne in \(x=\frac{1}{2}\) dove vale \(0\); la disequazione però chiede quando la parabola è minore o uguale a zero, quindi $$x=\frac{1}{2}$$ è l'unica soluzione.
Esempio 4: consideriamo la disequazione di prima con il segno stretto $$ 4x^2 -4x + 1 < 0.$$ Questa disequazione non ammette soluzioni, perchè non esistono punti in cui la parabola è strettamente negativa! $$\not\exists \ x \in \mathbb{R}$$
parabola disequazioni secondo grado


Se avessimo invece dovuto risolvere la disequazione $$ 4x^2 -4x + 1 > 0$$
parabola disequazioni secondo grado
vediamo che la parabola sta sempre sopra l'asse delle ascisse ed è quindi sempre positiva, tranne nel punto \(x=\frac{1}{2}\), dove vale 0. La soluzione è quindi $$x\in \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$$




  • Risolvere la disequazione \(x^2+3x-4> \ 0\)?
  • Risolvere la disequazione \(6x^2+7x-3\leq \ 0\)?
  • Se la disequazione \(ax^2 +bx +c >0\) ammette come soluzione \(x_1< x < x_2\) allora deve essere
  • Se la disequazione \(ax^2 +bx +c \leq 0\) ammette come soluzione \(x = x_1\) allora deve essere
  • Per quali valori del parametro \(k\) l'equazione \(\) ammette due soluzioni distinte?