Disequazioni con valore assoluto

Pe risolvere le disequazioni con i valori assoluti seguiamo un procedimento non molto diverso da quello che abbiamo visto per le equazioni con i valori assoluti. Consideriamo innanzitutto il caso di disequazioni in cui compare una sola espressione in valore assoluto.

Disequazioni con un solo valore assoluto

Come per le equazioni, un metodo generale per risolvere le disequazioni con un valore assoluto consiste nel suddividere la risoluzione in diversi casi a seconda del segno dell'argomento del valore assoluto e studiarli separatamente. Occorre poi confrontare la soluzione trovata con la condizione del caso che si sta studiando. Infine la soluzione sarà data dall'unione delle soluzioni trovate nei due casi. Consideriamo un esempio.
Studiamo l'equazione
$$\lvert 5-x \rvert \lt x+1 $$
Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto: \(5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5\) e dividiamo quindi in due casi.
  • Primo caso: \(x \le 5\)
    L'argomento del valore assoluto è gia positivo e non occorre cambiargli segno. L'equazione diventa $$ 5-x \lt x+1$$ $$-2x \lt -4$$ $$2x \gt 4$$ $$x \gt 2$$ Questa soluzione è però valida solo all'interno del caso che stiamo studiando cioè \(x \le 5\). L'intersezione di questi due intervalli è data da \(2 \lt x \le 5 \).
  • Secondo caso: \(x \gt 5\)
    In questo caso, essendo negativo l'argomento del valore assoluto è necessario cambiargli il segno. Otteniamo $$-5+x \lt x+1$$ $$-6 \lt 0$$ Che è sempre verificata. La soluzione sarebbe quindi l'intera retta dei numeri reali. Essa va però intersecata con la condizione \(x \gt 5\). Otteniamo quindi \(x \gt 5\).
A questo punto la soluzione della disequazione è l'unione delle soluzioni trovate nei due casi: \(2 \lt x \le 5 \lor x \gt 5\) il cui risultato è \(x \gt 2 \).


Vediamo adesso un esempio molto semplice ma che ci si trova spesso a dover risolvere in matematica: una disequazione del tipo \(\lvert x \rvert \lt k \) con \(k\) numero reale positivo, ad esempio
$$\lvert x \rvert \lt 4$$
Abbiamo che $$\lvert x\rvert = \begin{cases}x& \text{se \(x \geq 0\)} \\-x& \text{se \(x \lt 0\)} \end{cases}$$ quindi se \(x \ge 0\) l'equazione diventa \(x \lt 4\), pertanto $$\begin{cases}x \ge 0 \\x \lt 4 \end{cases} \Rightarrow 0\le x \lt 4$$ mentre se \(x \le 0\) l'equazione diventa \(-x \lt 4 \Rightarrow x \gt -4\), pertanto $$\begin{cases}x \le 0 \\x \gt -4 \end{cases} \Rightarrow -4 \lt x \le 0$$ Unendo gli intervalli trovati nei due diversi casi otteniamo la soluzione della disequazione: \(-4 \lt x \lt 4\).

Se invece avessimo avuto la disequazione nell'altro verso, come
$$\lvert x \rvert \gt 4$$
calcolando la soluzione in modo analogo otteniamo \(x \lt -4 \lor x \gt 4\).

Notiamo che se il numero \(k\) fosse stato negativo allora non sarebbe neanche necessario fare i conti. Basta infatti sfruttare la definizione di valore assoluto. Per esempio $$\lvert x \rvert \lt -3$$ non ha soluzioni, infatti un valore assoluto è sempre positivo per definizione, pertanto non può essere minore di un numero negativo. Invece $$\lvert x \rvert \gt -3$$ è soddisfatta per qualsiasi \(x\), infatti il valore assoluto, essendo per definizione positivo, è sempre maggiore di un numero negativo.

Disequazioni con più valori assoluti

Se in una disequazione compaiono più valori assoluti allora dobbiamo stuadiare il segno dell'argomento di ognuno di essi, riassumere il tutto in uno schema dei segni e studiare i vari casi che si ottengono. L'insieme delle soluzioni sarà infine dato dall'unione delle soluzioni ottenute nei singoli casi. Vediamo un esempio.
$$\lvert x \rvert + \lvert x-3 \rvert - \lvert x+2 \rvert >0$$
Studiamo i segni dei tre argomenti: $$x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$$ $$x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$$ $$x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$$ Riportiamo questi risultati in uno schema dei segni ed andiamo a studiare i diversi casi possibili Abbiamo quindi quattro casi diversi da studiare, che corrispondono ai sottoinsiemi in cui abbiamo diviso la retta reale.
  • Caso I: \(x \lt -2\)
    Tutti e tre gli argomenti sono negativi e dobbiamo quindi cambiarli di segno. Otteniamo: $$-x -(x-3) - (-(x+2)) \gt 0$$ $$-x -x+3+x+2 \gt 0$$ $$-x +5 \gt 0 $$ $$x \lt 5$$ Intersecando la soluzione ottenuta \(x \lt 5\) con la condizione del caso \(x \lt 2\) otteniamo \(x \lt -2\).
  • Caso II: \(-2 \le x \lt 0\)
    Cambiamo il segno dei primi due valori assoluti. Si ottiene: $$-x-x+3-x-2 \gt 0 $$ $$-3x+1 \gt 0 $$ $$x \lt \frac{1}{3}$$ Intersecando \(x \lt \frac{1}{3}\) con la condizione del caso \(-2 \le x \lt 0\) otteniamo \(-2 \le x \lt 0\).
  • Caso III: \(0 \le x \lt 3\)
    In questo caso l'equazione diventa $$x -x+3-x-2 \gt 0$$ $$-x+1 \gt 0$$ $$x \lt 1$$ Che a sistema con la condizione del caso \(0 \le x \lt 3\) dà come intervallo \(0 \le x \lt 1\)
  • Caso IV: \(x \ge 3\)
    Infine, nel quarto caso tutti gli argomenti sono positivi e non occorre cambiare il segno di nessuno: $$x+x-3-x-2 \gt 0 $$ $$x \gt 5$$ Ed intersecando l'intervallo \(x \gt 5\) con l'intervallo \(x \ge 3\) otteniamo \(x \gt 5\)
Ricapitolando la soluzione della disequazione è data dall'unione degli intervalli \(x \lt -2 \lor -2 \le x \lt 0 \lor 0 \le x \lt1 \lor x \gt 5\) che è