Equazioni di grado superiore al secondo

Spesso può capitare di trovarsi davanti ad un'equazioni di grado superiore al secondo (terzo, quarto ecc.) e non sapere come fare per risolverla, dato che solitamente si studia la formula risolutiva soltanto per equazioni fino al secondo grado. Sono state trovate formule risolutive per equazioni di terzo e quarto grado mentre è stato dimostrato che per le equazioni di grado 5 o superiore non è possibile trovare una formula generale che fornisca le soluzioni. Questo non vuol dire che le soluzioni non ci siano (anzi, per il teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che ci sono) ma che non si possono trovare in generale con semplici operazioni aritmetiche.

In alcuni casi si possono sfruttare alcune accortezze per risolvere semplicemente equazioni di grado superiore al secondo senza aver bisogno di nuovi strumenti teorici ma sfruttando le cose che sappiamo già.

Vedremo alcuni di questi casi, in particolare:

  • Equazioni binomie
    Sono equazioni del tipo $$ax^n+b=0,$$ o comunque equazioni che si possono ricondurre a questa forma tramite alcuni passaggi. Si tratta quindi di equazioni polinomiali in cui compare solamente la \(x\) elevata al grado massimo e il termine noto.

  • Equazioni trinomie
    Sono equazioni del tipo $$ax^{2n}+bx^n+c=0,$$ in particolare, se poniamo \(n=2\), troviamo le cosiddette equazioni biquadratiche ovvero equazioni della forma $$ax^4+bx^2+c=0.$$
  • Equazioni scomponibili (raccoglimenti, Ruffini)
    Si tratta di equazioni che si possono risolvere scomponendole in fattori e successivamente risolvendo i singoli fattori di grado, si spera, inferiore al secondo.
    Per scomporre in fattori useremo i raccoglimenti parziali o totali o, nel caso non sia possibile quest'ultima via, useremo il metodo di Ruffini