Equazioni binomie

Le equazioni binomie sono equazioni del tipo
$$ax^n+b=0$$
ovvero equazioni polinomiali in cui compare solamente la \(x\) elevata al grado dell'equazione e il termine noto (ovviamente deve essere \(a \neq 0\), altrimenti l'incognita scompare e non si tratta neanche più di un'equazione).

Per risolvere questo tipo di equazioni spostiamo il termine noto e dividiamo per \(a\) per arrivare alla forma $$x^n=-\frac{b}{a}$$ a questo punto possiamo estrarre la radice \(n\)-esima, ricordando però che nei numeri reali le radici di indice pari di numeri negativi non esistono. Vediamo quindi i due casi

Se \(n\) è dispari

Estraiamo la radice \(n\)-esima da entrambi i membri. Poiché \(n\) è dispari, la radice \(n\)-esima di \(-\frac{b}{a}\) esiste sia che esso sia positivo sia che esso sia negativo. Non dobbiamo quindi fare ulteriori distinzioni ed otteniamo la soluzione
$$x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$

Se \(n\) è pari

Se l'indice \(n\) della radice è pari bisogna fare più attenzione infatti non possiamo estrarre la radice di numeri negativi.

Se \(-\frac{b}{a} \gt 0\)
possiamo estrarre la radice ed ottenere \( \lvert x \rvert = \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}\) da cui
$$x= \pm \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$
(attenzione a ricordarsi del \(\pm\), le soluzioni sono due!).

Se \(-\frac{b}{a} \lt 0\)
Se il secondo membro è negativo allora non possiamo estrarre la radice. Non esiste infatti alcuna \(x\) reale che elevata a potenza pari dia un numero negativo. In questo caso l'equazione non ha soluzioni reali
Attenzione - Argomento avanzato
Quanto detto finora vale se si stanno cercando le radici reali dell'equazioni. In generale nei numeri complessi un'equazione di grado \(n\) ha sempre \(n\) soluzioni, contate con la loro molteplicità, quindi se si stanno cercando anche le radici complesse bisogna applicare un altro metodo.

Esempi

1) \(2x^2-16=0\)
Tramite un semplice passaggio arrivimo alla forma \(x^3=8\). A questo punto poiché l'indice della radice è dispari (3) basta estrarre la radice senza preoccuprci dei segni ed ottenere la soluzione $$x=\sqrt[3]{8}=2$$
2) \(3x^4+13=0\)
Portiamo a destra il termine noto, divisiamo ed otteniamo \(x^4=-\frac{13}{3}\). Poiché il secondo membro è negativo e l'indice della radice è pari (4) l'equazione non ha soluzioni.
3) \(x^2-2=0\)
Otteniamo \(x^2=2\), l'indice della radice è pari (2) ed il secondo membro è positivo. Otteniamo quindi (attenzione a ricordarsi del \(\pm\)!) $$x=\pm \sqrt{2}$$