Il calcolo di una percentuale è un semplice esercizio che ha un’infinità di risvolti nel mondo reale per cui è bene avere un’ottima dimestichezza con le formule e con i concetti che ci sono dietro. Si pensi ad esempio alle percentuali di crescita di un titolo in borsa o di crescita annua di un’azienda, alle percentuali di sconto applicate sui prodotti in un negozio o alla statistica e ai risultati di sondaggi e ricerche.
In questo articolo vedremo un breve esempio introduttivo per poi studiare le formule generiche nel paragrafo successivo. Infine vedremo come calcolare e interpretare gli aumenti e le riduzioni percentuali quando si legge ad esempio “il valore di xyz è aumentato del +6%”.
Una percentuale è semplicemente il rapporto tra due numeri e serve ad indicare in modo facile da riconoscere quanta parta di un numero si sta considerando. Immaginiamo ad esempio di svolgere un test con 15 domande e rispondere correttamente a 6 di esse. Un'altra persona svolge un test simile ma molto più lungo, con 130 domande e risponde correttamente a 52 di queste. È difficile capire chi dei due abbia fatto meglio senza un metro di paragone comune ma le percentuali ci vengono incontro proprio in questo, rapportando i numeri di risposte corrette di entrambi i test a quante se ne sarebbero fatte in un ipotetico test comune con lo stesso numero di domande, scelto per comodità uguale a 100.
Calcoliamo quindi il rapporto tra risposte esatte e domande per il primo test
$$ \frac{6}{15}=0.4$$
E per il secondo test
$$ \frac{52}{130}=0.4$$
E vediamo che entrambi hanno lo stesso rapporto di risposte esatte sul totale. Se volessimo rappresentare lo stesso rapporto di correttezza su un ipotetico test con 100 domande? Prendiamo ad esempio il secondo test e richiediamo che lo stesso rapporto ci sia in un test con 100 domande e \(x\) (da trovare) risposte corrette.
$$\frac{52}{130} = \frac{x}{100}$$
Da cui applicando i principi di equivalenza delle equazioni
$$x=\frac{52}{130}100=0.4 \cdot 100 = 40$$
E dunque i nostri test “equivarrebbero” (nel senso che avrebbero lo stesso rapporto di risposte corrette sul totale) ad un test con 40 domande esatte su 100. Il rapportare a un numero comune e semplice da visualizzare come “100” prende il nome di percentuale e si indica con il simbolo \(\%\). Possiamo quindi dire che i nostri test hanno un rapporto di risposte esatte del 40 per cento, in simboli: \(40\%\).
Un altro modo di vedere la questione, se si ha maggiore dimestichezza con le proporzioni, consiste nel chiedersi: “se 52 risposte corrette stanno a 130 domande totali, quante risposte corrette dovrei avere in un test con 100 domande” che corrisponde alla proporzione
$$52:130=x:100$$
Che risolta fornisce \(x = \frac{52 \cdot 100}{130}\)
In generale dato un numero \(a\) se si vuole calcolare la percentuale di tale valore rispetto ad un altro numero \(n\) si applica semplicemente la formula vista nell’esempio sopra
$$p = \frac{a}{n} \cdot 100$$
Il numero \(p\) viene rappresentato affiancandogli il simbolo \(\%\), questo per dire che rappresenta una percentuale e quindi il rapporto tra due numeri “rapportato” a 100 (già moltiplicato per cento).
Viceversa (è facile ricavare la formula inversa utilizzando i principi di equivalenza delle equazioni) dato un valore \(n\) e un valore percentuale \(p\) per ottenere il numero \(a\) che corrisponde al \(p\%\) di \(n\) applichiamo la formula
$$a=\frac{n \cdot p}{100}$$
Un altro caso d’uso molto comune è quello in cui viene indicato un aumento o una riduzione percentuale rispetto ad un numero di partenza. Pensiamo a quando si sente dire che un titolo in borsa ha avuto un rialzo del 6,2% o che un’azienda ha aumentato il fatturato del 12% rispetto all’anno precedente.
Quando viene indicato un aumento in percentuale si intende dire che un certo valore di partenza \(x_i\) è aumentato (o diminuito) di una certa quantità, e per comodità questa quantità non viene espressa in termini assoluti (ad es. +30) ma viene espressa in rapporto alla quantità di partenza (e vedremo a breve con un esempio perché è comodo fare così).
Dato quindi un valore iniziale \(x_i\) questo viene aumentato del \(p\%\) se l'ncremento registrato è esattamente \(p\%\) del valore iniziale \(x_i\) cioè esattamente \(\frac{x_i \cdot p}{100}\). Il valore finale \(x_f\) sarà quindi uguale a
$$x_f = x_i + x_i \cdot \frac{p}{100} = x_i \left( 1 + \frac{p}{100} \right) $$
Viceversa se ci vengono dati valore iniziale e valore iniziale e volgiamo calcolare quanto è stata la variazione percentuale allora applichiamo la formula inversa, ricavata da quella sopra, ovvero:
$$p = \frac{x_f - x_i}{x_i} \cdot 100 $$
Vediamo con un esempio perché è comodo esprimere aumenti o diminuzioni come percentuale del valore di iniziale.
Supponiamo che due aziende A e B dichiarino di aver aumentato i loro ricavi di un milione rispetto all’anno precedente. Questa informazione da sola ci comunica che entrambe hanno avuto un aumento, in termini assoluti, di una certa quantità. Aumentano le informazioni di contesto, supponiamo che nell’anno precedente il ricavato di A fosse di cento milioni mentre quello di B fosse di un milione. Calcolando a quanto ammonta l’incremento di un milione in percentuale rispetto ai ricavi dell’anno precedente otteniamo che:
Confrontando gli aumenti in percentuale capiamo subito che nonostante in termini assoluti l’aumento sia stato uguale (un milione) in percentuale A è aumentata dell’1% del valore iniziale, mentre B di ben 100% ovvero ha raddoppiato.