Le potenze godono di numerose proprietà utili che verranno utilizzate moltissime volte. E’ bene impararle a memoria e saperle riconoscere al volo:
1. Prodotto di potenze con la stessa base
$$a^x\cdot a^y = a^{(x+y)}$$
2. Quoziente di potenze con la stessa base
$$a^x : a^y = a^{(x – y)}$$
3. Potenza di potenza
$${(a^x)}^y = a^{x\cdot y}$$
4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente
$$a^x b^x = {(ab)}^x$$
5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente
$$\frac{a^x}{b^x} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$$
Osserviamo che, ad esempio, la proprietà 2 si ricava facilmente dalla 1:
$$a^x : a^y=\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot \frac{1}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x-y}$$
Ricordiamo che se l’esponente è un numero razionale (cioè una frazione) la base deve essere positiva altrimenti si può giungere ad incongruenze.