Proprietà delle potenze

Le potenze godono di numerose proprietà utili che verranno utilizzate moltissime volte. E’ bene impararle a memoria e saperle riconoscere al volo:

1. Prodotto di potenze con la stessa base $$a^x\cdot a^y = a^{(x+y)}$$ 2. Quoziente di potenze con la stessa base $$a^x : a^y = a^{(x – y)}$$ 3. Potenza di potenza $${(a^x)}^y = a^{x\cdot y}$$ 4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente $$a^x b^x = {(ab)}^x$$ 5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente $$\frac{a^x}{b^x} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$$

Osserviamo che, ad esempio, la proprietà 2 si ricava facilmente dalla 1: $$a^x : a^y=\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot \frac{1}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x-y}$$ Ricordiamo che se l’esponente è un numero razionale (cioè una frazione) la base deve essere positiva altrimenti si può giungere ad incongruenze.

Prodotto di potenze con la stessa base:

$2^3 \cdot 2^5 =2^{3+5}=2^8$

$7^1 \cdot 7^2 = 7^3$

$e^2 \cdot e^4 = e^6$

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

$2^4\cdot 2^3\cdot 2^2 = 2^{4+3+2}= 2^9$

Quoziente di potenze con la stessa base:

$3^5 : 3^2 =3^{5-2}=3^3$

$\frac{4^6}{4^5} =4^1$

$e^3 : e^7 = e^{-4}$

$9^2 : 9^5 = 9^{-3}$

$\frac{4^6}{4^2\cdot 4^3} =\frac{4^6}{4^{2+3}} = \frac{4^6}{4^5} =4^1$

Potenza di potenza:

${(5^3)}^2 =5^6$

${(8^4)}^3 =8^12$

${(\pi^3)}^3 =\pi^9$

Prodotto di potenze con lo stesso esponente:

$4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

$7^4 \cdot 4^4 = 28^4$

$2^5 \pi^5 =(2\pi)^5$

$4^{-1} \cdot 5^{-1} =20^{-1}$

$2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^5= (2\cdot 3\cdot 5)^5 = 30^5$

Quoziente di potenze con lo stesso esponente:

$\frac{3^4}{5^4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^4$

$\frac{10^3}{2^3}={\left(\frac{10}{2}\right)}^3 = 5^3$

$\frac{6^{-1}}{5^{-1}}={\left(\frac{6}{5}\right)}^{-1}$

$2^3\cdot 2^5=$

$3^4\cdot 3^5 \cdot 3^1=$

$2^2 : 2^2 =$

$3^5 \cdot 4^5 =$

${(9^3)}^4 =$