Equazioni scomponibili

Un altro caso in cui è possibile risolvere semplicemente equazioni di grado superiore al secondo è quello in cui riusciamo a scrivere l'equazione data come prodotto di polinomi di grado inferiore. Se l'equazione data è quindi della forma $P(x)=0$ dove $P(x)$ è un polinomio di grado maggiore di due e siamo in grado di scomporlo come $$A(x)\cdot B(x) = 0$$ allora per la legge di annullamento del prodotto è sufficiente risolvere $A(x)=0$ e $B(x)=0$, entrambe equazioni di grado inferiore a quella di partenza.

Per cercare di scomporre il polinomio di partenza proveremo alcuni metodi metodi:

Raccoglimento totale
Raccoglimento parziale
Polinomi notevoli
Metodo di Ruffini

Raccoglimento totale

Il caso più semplice è quello in cui una potenza di $x$ compare in ogni monomio e si può quindi raccogliere.
Risolviamo ad esempio l'equazione di terzo grado $$x^3+3x^2-4x=0$$ notiamo subito che possiamo raccogliere il termine $x$ $$x(x^2+3x-4)=0$$ a questo punto, per la legge di annullamento del prodotto è sufficiente risolvere l'equazione l'equazione di primo grado $x=0$ e l'equazione di secondo grado $x^2+3x-4=0$. La prima ha ovviamente come unica soluzione $x=0$ mentre la seconda ha le soluzioni $x=-4$ e $x=1$. Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi $ \{-4,0,1 \} $.

1) $x^9-7x^8+12x^7=0$
Raccogliamo $x^7$ $$x^7(x^2-7x+12)=0$$ L'equazione $x^7=0$ ha come unica soluzione $x=0$ mentre $x^2-7x+12=0$ ha come soluzioni $x=3$ e $x=4$.

Raccoglimento parziale

Nel caso non ci sia un termine in $x$ che compare in ogni monomio ma il numero di termini del polinomio è pari (4,6,...) si può tentare un raccoglimento parziale. Vediamo un esempio: $$x^4+x^3+5x+5=0$$ In questo caso non possiamo raccogliere niente a fattor comune in tutto il polinomio ma possiamo ad esempio raccogliere un $x^3$ tra i primi due termini e un $5$ tra gli ultimi due.
Cosi facendo otteniamo $$x^3(x+1) +5(x+1)=0$$ A questo punto vediamo che il termine $(x+1)$ moltiplica entrambi i termini e possiamo quindi raccoglierlo in un raccoglimento totale. Si ottiene $$(x+1)(x^3+5)=0$$ Per la legge di annullamento del prodotto adesso è sufficiente risolvere l'equazione $x+1=0$, che ha come soluzione $x=-1$, e equazioni binomia $x^3+5=0$ che ha come soluzione $x=-\sqrt[3]{5}$.

1) $2x^3-8x^2-3x+12 $
Raccogliamo $2x^3$ tra i primi due termini e $3$ tra gli ultimi due. Otteniamo $$2x^2(x-4)+3(-x+4)=0$$ i termini tra parentesi sono simili ma di segno opposto. Raccogliamo un meno in modo da sistemare la cosa (avremmo potuto raccogliere direttamente $-3$ sin dall'inizio) $$2x^2(x-4)-3(x-4)=0$$ $$(x-4)(2x^2-3)=0$$ Da cui le soluzioni $x=4$, $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$ e $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Prodotti notevoli

Il polinomio dato potrebbe essere lo sviluppo di un prodotto notevole. In particolare tra i prodotti notevoli che danno un polinomio di grado maggiore di due c'è il cubo di un binomio: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$ Applicandolo ad un esempio pratico potremmo pensare all'equazione $$8x^3+4x^2+2x+1=0$$ infatti possiamo notare che è esattamente lo sviluppo di $(2x+1)^3=0$, di cui sappiamo trovare con semplicità la soluzione $x=-\frac{1}{2}$ (contata tre volte).
Nota: in questo caso avemmo potuto anche usare il metodo di Ruffini, anche se avremmo dovuto identificare la radice $x=-\frac{1}{2}$ \) e fare molti più passaggi in cui è facile sbagliarsi.

1) Risolvere $27x^9-54x^6+36x^3-8=0$
Vediamo che il primo termine è il cubo di $3x^3$ mentre il termine noto è il cubo di $-2$, inoltre i termini in mezzo sono compatibili con la formula del cubo del binomio $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Possiamo quindi riscrivere l'equazione come $(3x^3-2)^3=0$ e quindi ricondurci a risolvere l'equazioni binomia $3x^3-2=0$ che ha come soluzione $x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$.

Metodo di Ruffini

Con il metodo di Ruffini si cerca di scomporre il polinomio di partenza in un prodotto tra un polinomio del tipo $ (x-a) $ ed un polinomio di un grado in meno rispetto a quello da cui si partiva. Il metodo è spiegato in dettaglio nella prossima lezione: il metodo di Ruffini