Equazioni scomponibili

Un altro caso in cui è possibile risolvere semplicemente equazioni di grado superiore al secondo è quello in cui riusciamo a scrivere l'equazione data come prodotto di polinomi di grado inferiore. Se l'equazione data è quindi della forma \(P(x)=0\) dove \(P(x)\) è un polinomio di grado maggiore di due e siamo in grado di scomporlo come $$A(x)\cdot B(x) = 0$$ allora per la legge di annullamento del prodotto è sufficiente risolvere \(A(x)=0\) e \(B(x)=0\), entrambe equazioni di grado inferiore a quella di partenza.

Per cercare di scomporre il polinomio di partenza proveremo alcuni metodi metodi:
  • Raccoglimento totale
  • Raccoglimento parziale
  • Polinomi notevoli
  • Metodo di Ruffini

Raccoglimento totale

Il caso più semplice è quello in cui una potenza di \(x\) compare in ogni monomio e si può quindi raccogliere.
Risolviamo ad esempio l'equazione di terzo grado $$x^3+3x^2-4x=0$$ notiamo subito che possiamo raccogliere il termine \(x\) $$x(x^2+3x-4)=0$$ a questo punto, per la legge di annullamento del prodotto è sufficiente risolvere l'equazione l'equazione di primo grado \(x=0\) e l'equazione di secondo grado \(x^2+3x-4=0\). La prima ha ovviamente come unica soluzione \(x=0\) mentre la seconda ha le soluzioni \(x=-4\) e \(x=1\). Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi \( \{-4,0,1 \} \).
1) \(x^9-7x^8+12x^7=0\)
Raccogliamo \(x^7\) $$x^7(x^2-7x+12)=0$$ L'equazione \(x^7=0\) ha come unica soluzione \(x=0\) mentre \(x^2-7x+12=0\) ha come soluzioni \(x=3\) e \(x=4\).

Raccoglimento parziale

Nel caso non ci sia un termine in \(x\) che compare in ogni monomio ma il numero di termini del polinomio è pari (4,6,...) si può tentare un raccoglimento parziale. Vediamo un esempio: $$x^4+x^3+5x+5=0$$ In questo caso non possiamo raccogliere niente a fattor comune in tutto il polinomio ma possiamo ad esempio raccogliere un \(x^3\) tra i primi due termini e un \(5\) tra gli ultimi due.
Cosi facendo otteniamo $$x^3(x+1) +5(x+1)=0$$ A questo punto vediamo che il termine \((x+1)\) moltiplica entrambi i termini e possiamo quindi raccoglierlo in un raccoglimento totale. Si ottiene $$(x+1)(x^3+5)=0$$ Per la legge di annullamento del prodotto adesso è sufficiente risolvere l'equazione \(x+1=0\), che ha come soluzione \(x=-1\), e equazioni binomia \(x^3+5=0\) che ha come soluzione \(x=-\sqrt[3]{5}\).
1) \(2x^3-8x^2-3x+12 \)
Raccogliamo \(2x^3\) tra i primi due termini e \(3\) tra gli ultimi due. Otteniamo $$2x^2(x-4)+3(-x+4)=0$$ i termini tra parentesi sono simili ma di segno opposto. Raccogliamo un meno in modo da sistemare la cosa (avremmo potuto raccogliere direttamente \(-3\) sin dall'inizio) $$2x^2(x-4)-3(x-4)=0$$ $$(x-4)(2x^2-3)=0$$ Da cui le soluzioni \(x=4\), \(x=-\sqrt{\frac{3}{2}}\) e \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Prodotti notevoli

Il polinomio dato potrebbe essere lo sviluppo di un prodotto notevole. In particolare tra i prodotti notevoli che danno un polinomio di grado maggiore di due c'è il cubo di un binomio: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$ Applicandolo ad un esempio pratico potremmo pensare all'equazione $$8x^3+4x^2+2x+1=0$$ infatti possiamo notare che è esattamente lo sviluppo di \((2x+1)^3=0\), di cui sappiamo trovare con semplicità la soluzione \(x=-\frac{1}{2}\) (contata tre volte).
Nota: in questo caso avemmo potuto anche usare il metodo di Ruffini, anche se avremmo dovuto identificare la radice \(x=-\frac{1}{2}\) \) e fare molti più passaggi in cui è facile sbagliarsi.
1) Risolvere \(27x^9-54x^6+36x^3-8=0\)
Vediamo che il primo termine è il cubo di \(3x^3\) mentre il termine noto è il cubo di \(-2\), inoltre i termini in mezzo sono compatibili con la formula del cubo del binomio \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Possiamo quindi riscrivere l'equazione come \((3x^3-2)^3=0\) e quindi ricondurci a risolvere l'equazioni binomia \(3x^3-2=0\) che ha come soluzione \(x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\).

Metodo di Ruffini

Con il metodo di Ruffini si cerca di scomporre il polinomio di partenza in un prodotto tra un polinomio del tipo \( (x-a) \) ed un polinomio di un grado in meno rispetto a quello da cui si partiva. Il metodo è spiegato in dettaglio nella prossima lezione: il metodo di Ruffini