Equazioni trinomie

Le equazioni trinomie sono equazione del tipo $$ax^{2n}+bx+c=0$$ e comprendono il caso particolare delle equazioni biquadratiche: $$ax^4+bx^2+c=0$$

Risoluzione

Per risolvere questo tipo di equazioni facciamo il cambio di variabile \(y=x^n\) vale a dire al posto di \(x^n\) scriviamo una nuova variabile che chiamiamo \(y\) (o \(t\) o \(z\) o qualsiasi altro nome).
In questo modo \(x^n\) diventa \(y\) mentre \(x^{2n}=(x^n)^2\) diventerà \(y^2\).

Con queste sostituzioni arriviamo a $$ay^2+by+c=0$$ vale a dire una semplice equazione di secondo grado nell'incognita \(y\).
Ora risolviamo semplicemente l'equazione di secondo grado (troviamo 0, 1 oppure 2 valori di \(y\)) ed infine ritorniamo alla \(x\) ricordando che \(x^n=y\) perciò
  • Se l'equazione di secondo grado ha due soluzioni \(y_1\) e \(y_2\) dobbiamo risolvere due equazioni binomie \(x^n=y_1\) e \(x^n=y_2\).
  • Se l'equazione di secondo grado ha una sola soluzione \(y_1\) dobbiamo risolvere un'equazione binomia \(x^n=y_1\).
  • Se l'equazione di secondo grado non ha nessuna soluzione allora anche l'equazione di partenza non avrà nessuna soluzione.

Esempi

1) \(x^4-5x^2+4=0\)
Si tratta di un'equazione biquadratica. Facciamo la sostituzione \(x^2=y\) e otteniamo $$y^2-2y+4=0$$ le cui soluzioni sono $$y_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2} = \frac{5\pm 3}{2} $$ cioè \(y=1\) e \(y=4\). Torniamo alla variabile \(x\) ricordando che era \(x^2=y\).
Ci troviamo a dover risolvere le due equazioni binomie \(x^2=1\) e \(x^2=4\). La prima dà come soluzione \(x=\pm 1\) mentre la seconda dà \(x=\pm 4\).
Ricapitolando le soluzioni sono \( \{-1,1,-2, 2\} \)
2) \(x^8-15x^4-16=0\)
Con la sostituzione \(x^4=y\) arriviamo all'equazione di secondo grado $$y^2-15y-16=0$$ le cui soluzioni sono $$y_{1,2}=\frac{15\pm \sqrt{225+64}}{2} = \frac{15\pm 17}{2} $$ cioè \(y=-1\) e \(y=16\). Torniamo alla variabile \(x\) ricordando che \(y=x^4\) e otteniamo le equazioni binomie \(x^4=-1\) e \(x^4=16\). Poiché l'indice della radice è pari (4) e il secondo membro è negativo \(x^4=-1\) non ha soluzioni. L'equazione \(x^4=16\) ha invece le soluzioni \(x=\pm \sqrt[4]{16}= \pm2\).
Ricapitolando le soluzioni dell'equazione di partenza sono \(x=-2\) e \(x=2\).
3) \(x^{10} + x^5 -6=0\)
Sostituendo \(y=x^5\) otteniamo $$y^2+y-6=0$$ che ha come soluzioni \(y_1=-3\) e \(y_2=2\). Risostituendo otteniamo le due equazioni binomie \(x^5=-3\) e \(x^5=2\) le cui soluzioni sono \(x=-\sqrt[5]{3}\) e \(x=\sqrt[5]{2}\).