Potenze con esponente reale

E’ possibile definire anche potenze con esponente reale (e base positiva, come prima), anche se questo non si può scrivere come frazione \(\frac{a}{b}\) e quindi applicare le regole viste prima.
Come si fa? Sappiamo che dato un numero reale si può trovare un numero razionale vicino a lui quanto si vuole, cioè un numero reale si può approssimare con una successione di numeri razionali che si avvicinano sempre di più a lui.
Ad esempio \(\sqrt{2} \in \Bbb R\) si può approssimare con la successione di numeri razionali \( 1.4, \; 1.41,\; 1.414,\; 1.4142,\;\dotsc \). La potenza con esponente reale si definisce così, approssimandola con potenze a esponente razionale, di cui conosciamo le proprietà e sappiamo calcolarle.

Per le potenze ad esponente reale continuano a valere le proprietà viste prima. Valgono inoltre queste disuguaglianze che ci aiutano a confrontare potenze con stessa base:

$$x< y \Longleftrightarrow a^x< a^y \: se \: a> 1$$ $$x< y \Longleftrightarrow a^x> a^y \: se \: 0< a< 1$$
Cioè se la base è maggiore di 1 e aumento l’esponente la potenza aumenta (e viceversa).Possiamo quindi passare da una disequazione sugli esponenti ad una disequazione sulle potenze mantenendo lo stesso verso di disuguaglianza.
Se la base è minore di 1 (ma comunque maggiore di zero, poiché abbiamo definito le potenze ad esponente reale solo in questo caso) allora aumentando l’esponente il valore della potenza diminuisce (e viceversa). In questo caso possiamo passare da una disuguaglianza tra gli esponenti ad una disuguaglianza tra le potenze cambiando il verso della disuguaglianza.
È vero che $$3^\sqrt{2} < 3^2 $$ infatti l'esponente \(\sqrt{2} \approx 1.41 \) è minore di 2 e la base (3) è maggiore di uno, pertanto la disuguaglianza che c'è tra gli esponenti "passa" alle potenze con lo stesso verso.
Al contrario, invece, $$\left(\frac{1}{2}\right)^\sqrt{2} > \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ infatti in questo caso la base (1/2) è minore di uno, quindi la disuguaglianza tra le potenze cambia verso rispetto a quella tra gli esponenti.





  • Quale dei seguenti numeri è maggiore? \( 23^\sqrt{5} \) o \( 23^{\frac{5}{3}} \)?
  • Quale dei seguenti numeri è maggiore? \( \left(\frac{1}{3}\right)^4 \) o \( \left(\frac{1}{3}\right)^6 \)?