Le equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado in un'incognita sono equazioni in cui l'unica incognita compare in polinomi di primo grado, ovvero elevata al massimo alla potenza uno. Non si può quindi trovare elevata alla seconda, dentro logaritmi, all'esponente, al denominatore di una frazione e così via.
Esempi di equazioni di primo grado in un'incognita sono:
\(3x=5\)
\(2+y=0\) (l'incognita è una sola e si chiama \(y\))
\(x+2=2x\) (anche se compare più volte l'incognita è sempre la stessa ed è una sola: la \(x\))
\( \frac{1}{2}x +6=0 \) (l'incognita \(x\) è di primo grado, anche se è moltiplicata per una frazione (un numero razionale)).

Non sono equazioni di primo grado in un'incognita:
\(x+2y+3=0\) (ha due incognite)
\(x^2+x+1=0\) (è di secondo grado)
\(\frac{2}{x}=4\) (l'incognita \(x\) è al denominatore di una frazione)
\(\sqrt{x} +1=0\) (non si può trovare una radice quadrata in un polinomio).

Risolvere un'equazione di primo grado

Per risolvere un'equazione di primo grado sfruttiamo i principi di equivalenza delle equazioni per ricondurci attraverso alcuni passaggi ad un'equazione equivalente (cioè con le stesse soluzioni) ma in cui la soluzione si "veda facilmente". In generale vorremmo "spostare" le \(x\) a sinistra dell'uguale e i numeri a destra. Vediamo attraverso degli esempi questo procedimento.

Prendiamo ad esempio l'equazione
$$2x-6=2$$
Per il primo principio di equivalenza possiamo sommare la stessa quantità ad entrambi i membri dell'equazione. Poiché vorremmo avere la \(x\) a sinistra dell'uguale e i numeri a destra il nostro scopo è spostare il 6 al secondo membro. Per fare ciò sommiamo 6 (così si semplifica con -6) ad entrambi i membri ed otteniamo $$\require{cancel} 2x-6+\color{orange}{6}=2+\color{orange}{6} \; \longrightarrow \; 2x-\cancel{6}+ \cancel{6}=2+6$$ $$\rightarrow 2x=8$$ A questo punto, poiché vorremmo lasciare la \(x\) da sola, dobbiamo togliere il 2 che la moltiplica. Per fare ciò dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 2 e otteniamo $$\frac{2x}{\color{orange}{2}}=\frac{8}{\color{orange}{2}}$$ $$x=4$$ Siamo così arrivati ad un'equazione equivalente in cui leggiamo subito che la soluzione è \(x=4\).


Vediamo un altro esempio un pochino più complicato ma in cui il procedimento di risoluzione è sempre analogo. Risolviamo
$$3(x-1)+3+2x=1-(4+x)$$
Effettuiamo innanzitutto le operazioni di moltiplicazione e sommiamo i monomi simili $$3x -3 + 3 +2x=1-4-x $$ $$ \longrightarrow \; 5x = -3-x$$ Ora vogliamo spostare le \(x\) a sinistra dell'uguale. Sommiamo quindi \(x\) ad entrambi i membri dell'equazione $$5x +\color{orange}{x} = -3-x+\color{orange}{x} \; \longrightarrow \; 6x = -3$$ Infine dividiamo per 6 entrambi i membri $$\frac{6x}{\color{orange}{6}} =\frac{-3}{\color{orange}{6}}$$ Da cui otteniamo $$x = -\frac{1}{2}$$ Per verificare se non abbiamo fatto errori possiamo andare a sostituire il valore trovato al posto della \(x\) nell'equazione di partenza ed assicurarci di ottenere un'identità.

Con un po' di esperienza nel risolvere le equazioni di questo tipo si capisce che il procedimento che facciamo quando diciamo che vogliamo spostare un numero da una parte all'altra dell'uguale è in pratica equivalente a spostarlo al di là dell'uguale cambiandone il segno.
Per esempio se abbiamo \(x+5=9\) e vogliamo spostare il 5 a destra la teoria ci dice di sottrarre ad 5 ad entrambi i membri in modo che quello a sinistra vada via: \(x+5-5=9-5\) che ci dà \(x=4\). Il trucco per velocizzare il tutto è fare questa cosa in un colpo solo pensando di spostare il 5 dall'altro lato dell'uguale cambiandogli il segno: $$x \color{orange}{+5}=9 \; \longrightarrow \; x=9 \color{blue}{-5} \; \longrightarrow \; x=4.$$

Se l'incognita scompare

Facendo i passaggi descritti sopra può capitare che le \(x\) si semplifichino, ad esempio in $$x+2=x$$ sottraendo \(x\) ad entrambi i membri le incognite si semplificano e "scompaiono". In questo caso rimaniamo con una uguaglianza tra numeri, senza alcuna variabile. Essa può quindi essere o vera o falsa, il valore dell'incognita non la può più modificare in alcun modo.
Ci sono quindi due casi:
  1. Se otteniamo un'uguaglianza vera, cioè un'identità vera diciamo che l'equazione di partenza ha come insieme delle soluzioni \(\mathbb{R}\), ovvero qualsiasi valore dell'incognita è soluzione. L'equazione ha quindi infinite soluzioni in questo caso.
  2. Se otteniamo un'uguaglianza falsa allora l'equazione di partenza non ha soluzioni (l'insieme delle soluzioni è \(\emptyset\)). Infatti l'incognita non compare più e qualsiasi valore vi sostituiremmo ci lascerebbe con la stessa uguaglianza falsa.
1) L'equazione $$x+2=x$$ diventa \(2=0\) cioè un'uguaglianza falsa. L'equazione non ha soluzioni

2) L'equazione $$2x+5=5+2x$$ diventa dopo pochi passaggi \(0=0\). L'equazione ha quindi come insieme delle soluzioni \(\mathbb{R}\).




  • Quale delle seguenti non è un'equazione di primo grado in un'incognita?
  • Nel passare da \(2x+3=7\) a \(2x=4\) cosa si è utilizzato?
  • Qual è la soluzione di \(5x-2=13\)?
  • Esercizio
  • Qual è la soluzione di \(2z+4=6\)?(scrivi solo il valore della soluzione)
  • Esercizio
  • Qual è la soluzione di \(2y+3+y=-3\)?
  • Esercizio
  • Risolvi l'equazione \(8x+3=5x+21\) (scrivi solo il valore della soluzione)
  • Quale delle seguenti ha infinite soluzioni?
  • Esercizio
  • Risolvi l'equazione \(24=2(2+x)\) (scrivi solo il valore della soluzione)
  • Esercizio
  • Risolvi l'equazione \(\frac{x-5}{2}=3\)
  • Esercizio
  • Risolvi l'equazione \((2x-1)^2-6x=(2x-3)2x-3\)
  • Quale delle seguenti equazioni rappresenta la scrittura matematica del problema: "Determina il numero la cui metà diminuita di 5 è uguale al suo triplo aumentato di 10"?
  • Esercizio
  • Trova un numero il cui doppio sommato a 4 dà 24.
  • Esercizio
  • Qual è il numero che sommato ai suoi due successivi dà 21?
  • Esercizio
  • Qual è il numero che sommato al numero pari successivo dà 90?
  • Esercizio
  • Il prezzo di un vestito scontato del 20% è di 40€. Qual era il prezzo originale?
  • Esercizio
  • Un classico: un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?
  • Quale delle seguenti non ha nessuna soluzione?