Disequazioni irrazionali

Una disequazione irrazionale è una disequazione in cui l'incognita \(x \) compare sotto il segno di radice. Ad esempio l'equazione $$\sqrt{x^2+3x-7} \le x+4$$ è una disequazione irrazionale.
La teoria che segue vale se la radice \( \sqrt[n]{\ldots} \) ha un qualsiasi indice \(n\) pari ma per brevità di notazione ci porremo nel caso \(n=2 \). Se invece è l'indice \(n \) è dispari la risoluzione è più semplice.

Nel seguito sfrutteremo il seguente fatto valido per qualsiasi coppia di numeri reali \(a \) e \(b \) positivi: $$a \lt b \Longleftrightarrow a^2 \lt b^2 \qquad a,b \ge 0$$

Disequazioni del tipo \( \sqrt{f(x)} \lt g(x) \) e \( \sqrt{f(x)} \le g(x) \)

Vediamo come si riolve una disequazione del tipo
$$ \sqrt{f(x)} \lt g(x). $$
Poiché vi è una radice occorre innanzitutto imporre la condizione di esistenza del radicale (radicando maggiore o uguale a 0): $$f(x) \ge 0.$$ A questo punto, sotto questa condizione, siamo sicuri che la radice esiste, ed è naturalmente un numero positivo.

Supponiamo che l'altro membro, \(g(x) \), sia negativo. Allora sicuramente la disequazione non ha soluzioni: un termine positivo, \(f(x) \), non può certamente essere minore di un termine negativo \(g(x) \).
Supponiamo adesso che \( g(x) \) sia invece positivo. Possiamo allora applicare la proprietà vista all'inizio ed elevare al quadrato entrambi i membri della disequazione per ottenere una disequazione equivalente a quella di partenza (cioè con le stesse soluzioni) ma, visto che non c'è più la radice, più semplice.
Ricapitolando:
  1. Si impone la condizione di esistenza sulla radice
  2. Si richiede che il secondo membro \(g(x) \) sia positivo
  3. Si elevano entrambi i membri per ottenere una disequazione equivalente a quella di partenza (se sono verificate le condizioni 1 e 2)
Questo vuol dire risolvere il sistema (in modo che valgano tutte e tre le condizioni contemporaneamente) dato da:
$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \gt 0 \\ f(x) \lt [g(x)]^2 \end{cases} $$
Il caso con minore o uguale
Nel caso l'equazione sia del tipo \( \sqrt{f(x)} \le g(x) \) allora dovremmo risolvere il sistema $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le [g(x)]^2 \end{cases} $$
Vediamo un esempio:
Risolvere $$\sqrt{x^2+3x-4} \lt 4-x$$ Abbiamo visto che questa disequazione è equivalente al sistema $$ \begin{cases} x^2+3x-4 \ge 0 \\ 4-x \gt 0 \\ x^2+3x-4 \lt 16 -8x +x^2 \\ \end{cases} $$ Una volta risolte le tre disequazioni otteniamo $$ \begin{cases} x \le -4 \lor x \ge 1 \\ x \lt 4 \\ x \lt \frac{20}{11} \\ \end{cases} $$ La cui soluzione è (ricorda: bisogna fare uno schema in cui si rappresentano le soluzioni delle tre disequazioni e prendere gli intervalli in cui sono soddisfatte tutte e tre contemporaneamente): $$x \le -4 \; \lor \; 1 \le x \lt \frac{20}{11} $$

Disequazioni del tipo \( \sqrt{f(x)} \gt g(x) \) e \( \sqrt{f(x)} \ge g(x) \)

Vediamo adesso come si risolve una disequazione del tipo
$$\sqrt{f(x)} \gt g(x).$$
Come prima cosa, essendoci una radice, bisogna sempre porre la condizione di esistenza del radicale $$ f(x) \ge 0$$
A questo punto, come prima, supponiamo che il secondo membro \(g(x) \) sia negativo. Il primo membro, essendo la radice di un numero, è sempre positivo (se esiste). Ma un numero positivo è sempre maggiore di una quantità negativa quindi la disequazione è senz'altro verificata in questo caso, cioè per le \( x\) che rendono negativo \(g(x) \).
Nel caso invece che \(g(x) \) sia positivo o nullo procediamo esattamente come nel paragrafo precedente ed eleviamo al quadrato entrambi i membri della disuguaglianza.
Ricapitolando la disequazione è verificata (sotto le condizioni di esistenza della radice) se il secondo membro è negativo oppure se il secondo membro è positivo ed è soddisfatta la disequazione equivalente che si ottiene elevando al quadrato entrambi i membri.

Tutto questo vuol dire unire le soluzioni dei due sistemi:
$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \lt 0 \\ \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \gt [g(x)]^2 \end{cases} $$
Nel secondo sistema in realtà la condizione \( f(x) \ge 0 \) è superflua e si può evitare di risolvere in quanto è già contenuta implicitamente dentro la condizione \( f(x) \gt g(x)^2 \). Infatti \(g(x) \) è una quantità positiva (perché è un quadrato) e se \(f(x) \) è maggiore di un numero positivo allora è sicuramente maggiore di 0.
Il caso con maggiore o uguale
Nel caso l'equazione sia del tipo \( \sqrt{f(x)} \le g(x) \) allora dovremmo risolvere il sistema $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \lt 0 \\ \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge [g(x)]^2 \end{cases} $$
Vediamo un esempio:
Risolvere $$ \sqrt{5x+9} > x-1$$ Abbiamo visto che le soluzioni di questo tipo di equazioni sono date dall'unione delle soluzioni di due sistemi: $$ \begin{cases} 5x+9 \ge 0 \\ x-1 \lt 0 \\ \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} 5x+9 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 5x+9 \ge [x-1]^2 \end{cases} $$ Risolvendo il primo otteniamo $$ \begin{cases} x \ge -\frac{9}{5} \\ x \lt 1 \\ \end{cases} \quad \longrightarrow \quad -\frac{9}{5} \le x \lt 1 $$ Mentre per il secondo: $$ \begin{cases} x \ge -\frac{9}{5} \\ x \ge 1 \\ x^2-7x-8 \lt 0 \end{cases} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases} x \ge -\frac{9}{5} \\ x \ge 1 \\ -1 \lt x \lt 8 \end{cases} \quad \longrightarrow \quad 1 \le x \lt 8 $$ A questo punto unendo i due intervalli ottenuti come soluzioni due sistemi otteniamo l'intervallo $$-\frac{9}{5} \le x \lt 8$$ soluzione dell'equazione di partenza.

Disequazioni irrazionali con indice dispari

Se l'indice \(n\) della disequazione $$\sqrt[n]{f(x)} \lesseqgtr g(x)$$ è dispari allora è sufficiente elevare alla \(n \) entrambi i membri della disequazione per ottenere una disequazione equivalente: $$f(x) \lesseqgtr [g(x)]^n.$$
Questo è vero perché vale la seguente proprietà dei numeri reali $$a \lt b \Longleftrightarrow a^n \lt b^n \quad a,b\in \mathbb{R}, \; n \text{ dispari}.$$

Altri tipi di disequazioni irrazionali

Se la disequazione non è in uno dei casi visti sopra allora bisogna ingegnarsi per trovare un modo di risolverla. In generale si sfruttano le proprietà viste sopra $$a \lt b \Longleftrightarrow a^n \lt b^n \quad a,b\in \mathbb{R},\; a\gt 0, \; b\gt 0, \; n \text{ pari}.$$ $$a \lt b \Longleftrightarrow a^n \lt b^n \quad a,b\in \mathbb{R}, \; n \text{ dispari}.$$ Vediamo alcuni esempi.

1) Risolvere $$\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} \gt 2$$ Le condizioni di esistenza delle radici sono \( x+1 \ge 0 \; \land \; x-1 \ge 0 \longrightarrow x \gt 1 \).
Sotto queste condizioni il membro di sinistra è sicuramente positivo perché è somma di due termini positivi (due radici), mentre il membro di destra è un numero positivo. Possiamo quindi elevare al quadrato entrambi i membri mantenendo la disuguaglianza. Otteniamo, ricordando la formula del quadrato di un binomio, $$x+1 +x -1 + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} \gt 4$$ $$\sqrt{(x+1)(x-1)} \gt2 -x.$$ Ci siamo ricondotti ad una disequazione del tipo \( \sqrt{f(x)} \gt g(x) \). Risolvendola come visto sopra otteniamo la soluzione \( x \gt \frac{5}{4} \). Essa è compatibile con la condizione di esistenza \(x \gt 1 \) posta all'inizio, quindi in conclusione le soluzioni della disequazione sono $$ x \gt \frac{5}{4}.$$
2) Risolvere $$\sqrt{x^2+4} \lt \sqrt[3]{x^3+8}$$ La radice quadrata esiste per ogni \(x \) reale, infatti il radicando è sempre positivo (soma di un quadrato e di un numero positivo).
Il membro di destra è una radice cubica, dunque può essere sia positivo che negativo.
Per \(x \lt -2 \) è negativo e la disequazione non può avere soluzioni (il membro di sinistra, positivo, non può essere minore di un numero negativo).
Per \(x \ge -2 \) entrambi i membri sono positivi e possiamo elevare alla sesta per togliere le radici. Otteniamo $$(x^2+4)^3 \lt (x^3+8)^2$$ $$x^6 +12x^4 + 48x^2 + 64 \lt x^6 + 16x^3 + 64$$ $$12x^4 -16x^3 +48x^2 \lt 0$$ $$4x^2(3x^2 -4x +16) \lt 0$$ E questa disequazione scritta come prodotto di fattori non ha soluzioni.
In conclusione la disequazione di partenza non ha soluzioni reali.