Metodo di Ruffini

Con il metodo di Ruffini si cerca di scomporre il polinomio di partenza in un prodotto tra un polinomio del tipo \( (x-a) \) ed un polinomio di un grado in meno rispetto a quello da cui si partiva. Per trovare questa scomposizione bisogna effettivamente dividere il polinomio dato per \( (x-a) \) dove il numero \(a\) va scelto in modo che il resto della divisione sia zero.
Infatti in generale se chiamiamo \(P(x)\) il polinomio di partenza, dividendolo per un certo divisore del tipo \( (x-a) \) otteniamo un quoziente \(Q(x)\) ed un resto \(R\) e dunque (si pensi ad un esempio con i numeri naturali: dato il numero 7 se lo dividiamo per 2 otteniamo 3 con il resto di 1, cioè \(7=3\cdot 2 +1 \) ): $$P(x)= Q(x) (x-a) +R.$$ Se riusciamo a trovare un divisore \( (x-a) \) tale che il resto \(R\) sia zero allora avremo effettivamente scomposto in due fattori il polinomio di partenza perché avremo $$P(x)=Q(x)(x-a)$$ che è quello che volevamo.

Quello che dobbiamo fare per scomporre il polinomio con Ruffini è quindi:
  • Trovare un numero \(a\) tale che la divisione per \(x-a\) dia resto zero (cioè \(x-a\) sia un divisore del polinomio di partenza)
  • Effettuare la divisione tra i polinomi

Trovare il divisore \(x-a\)

Per trovare \(a\) tale che \((x-a)\) sia un divisore del polinomio dato è sufficiente trovare un \(a\) che sostituito alla \(x\) nel polinomio dia zero, cioè tale che \(P(a)=0\) (il polinomio valutato in \(a\) vale zero: \(a\) è una radice del polinomio).
Inoltre non è necessario provare a sostituire tutti i possibili numeri \(a\) del mondo per vedere se sono radici del polinomio ma è sufficiente, se il polinomio è a coefficienti interi e il coefficiente della \(x\) di grado massimo è uno, provare con i divisori del termine noto.

Troviamo ad esempio un possibile divisore del polinomio $$x^3+4x^2+5x+2$$ Il coefficiente di \(x^3\) è uno e il termine noto è \(2\), pertanto cerchiamo una radice del polinomio tra i divisori del termine noto: \(\pm 1\) e \(\pm 2\). Iniziamo com \(+1\) $$P(1)=1^3+4\cdot 1^2 +5\cdot 1 +2 = 12$$ Non è zero. Proviamo con \(-1\) $$P(-1)=(-1)^3+4 \cdot (-1)^2 +5 (-1) +2 = -1 +4 -5 +2 = 0$$ Abbiamo trovato che \(a=-1\) è una radice del polinomio, quindi \( (x-a) = (x-(-1)) = (x+1) \) è il divisore che cercavamo.

Attenzione: nel polinomio divisore \((x-a)\) compare la radice \(a\) trovata ma cambiata di segno.
Perché se \(a\) è radice del polinomio allora la divisione per \((x-a)\) dà resto zero?

Abbiamo visto che la divisione fornisce \(Q(x)\) e \(R\) tali che \(P(x)= Q(x) (x-a) +R \). Se valutiamo i polinomi in \(a\) otteniamo $$P(a)=Q(a)(a-a) + R$$ e poiché se \(a\) è radice di \(P\), \(P(a)=0\) $$0=0+R$$ cioè \(R=0\).
Perché è sufficiente provare con i divisori del termine noto? E se il coefficiente di grado massimo non è 1?

Perché per il teorema delle radici razionali le soluzioni razionali di un'equazione polinomiale a coefficienti interi \(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0 =0\) sono della forma \(\frac{p}{q}\) dove \(p\) è un divisore del termine noto \(a_0\) e \(q\) è un divisore del coefficiente \(a_n\).
Se ad esempio il polinomio fosse stato \(8x^3+4x^2+2x+1=0\) avremmo dovuto provare tutte le possibili combinazioni di rapporti tra i divisori del termine noto, ovvero \(\pm 1\), e i divisori del coefficiente direttore \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\), quindi \(\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}\).
Nota che il teorema parla solo della forma delle radici razionali, potrebbero essercene altre complesse o irrazionali delle quali non sappiamo la forma.

Effettuare la divisione (regola di Ruffini)

Per fare la divisione si può utilizzare il solito procedimento per dividere un polinomio per un altro oppure usare la regola di Ruffini (o divisione sintetica), un metodo che permette di dividere in modo rapido un polinomio qualsiasi per un polinomio di primo grado della forma \((x-a)\). Vediamo come si applica quest'ultimo.

Supponiamo di dover dividere il nostro polinomio \(x^3+4x^2+5x+2 \) per il divisore trovato \((x+1)\)

1) Costruiamo una tabella in cui inseriamo nella prima riga i coefficienti del polinomio, da quello di ordine maggiore fino al termine noto che si scrive dopo la sbarra (e scrivendo 0 se una certa potenza di \(x\) non compare). A sinistra, sopra la riga orizzontale scriviamo la nostra \(a\) ovvero il termine noto che compare nel divisore \((x-a\)) cambiato di segno. Nel nostro caso abbiamo \((x+1)\) e se lo vediamo come \( (x-(-1)) \) capiamo subito che \(a=-1\). $$ \begin{array}{c|ccc|c} & \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{5} & \color{red}{2} \\ \color{red}{-1} & & & & \\ \hline & & & & \\ \end{array} $$ 2) Copiamo nell'ultima riga il primo coefficiente $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & & & \\ \hline & \color{red}{1} & & & \\ \end{array} $$ 3) A questo punto moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga per la \(a\) (cioè -1) e scriviamo il risultato nella riga di mezzo, un posto più a destra. $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ \color{green}{-1} & & \color{red}{-1} & & \\ \hline & \color{green}{1} & & & \\ \end{array} $$ 4) Sommiamo i valori della seconda colonna e scriviamo il risultato sotto $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & & \\ \hline & 1 & \color{red}{3} & & \\ \end{array} $$ Adesso dobbiamo ripetere questi ultimi due passi per tutti i coefficienti, quindi moltiplichiamo \(3\) per \(-1\), scriviamo il risultato (\(-3\)) e sommiamo $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ \color{green}{-1} & & -1 & \color{red}{-3} & \\ \hline & 1 & \color{green}{3} & \color{red}{2} & \\ \end{array} $$ E infine moltiplichiamo \(2\) per \(-1\), scriviamo il risultato e sommiamo $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ \color{green}{-1} & & -1 & -3 & \color{red}{-2} \\ \hline & 1 & 3 & \color{green}{2} & \color{red}{0} \\ \end{array} $$ Il numero in basso a destra è il resto e se abbiamo fatto i conti correttamente deve venire 0 (infatti avevamo scelto \(a\) apposta perché venisse così). I valori sotto la riga e tra le righe verticali sono i coefficienti del polinomio risultante dalla divisione, quindi quello più a destra, 2, è il termine noto, 3 è il coefficiente di \(x\) e 1 è il coefficiente di \(x^2\). Il polinomio che si ottiene è $$x^2+3x+2$$ Dunque il polinomio di partenza si può scomporre come $$x^3+4x^2+5x+2 = (x^2+3x+2)(x+1)$$ Si può anche verificare di aver fatto i conti correttamente provando a moltiplicare i due fattori e controllando che si ottenga effettivamente il polinomio di partenza.

Nel caso il quoziente della divisione sia ancora un polinomio di grado superiore al secondo per il quale le altre tecniche di scomposizione non funzionano si può eventuale applicare nuovamente Ruffini per abbassarne il grado e cercare di risolvere l'equazione.

Esempi

1)Risolvere l'equazione \(x^3-9x^2+26x-24=0\)
Poiché non si tratta di un polinomio notevole e i metodi di raccoglimento non funzionano usiamo il metodo di Ruffini per scomporre il polinomio. Il termine noto è \(-24\) e i suoi divisori sono \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\). Valutiamo il polinomio in corrispondenza di questi valori e otteniamo
\(P(1) = 1-9+26-24 \neq 0\),
\(P(-1)=-1-9-26-24\neq 0\),
\(P(2)=8-36+52-24=0\)
quindi il polinomio per cui divideremo è \((x-2)\).
Procediamo dunque con la divisione vera e propria tramite la regola di Ruffini $$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -9 & 26 & -24 \\ 2 & & 2 & -14 & 24 \\ \hline & 1 & -7 & 12 & 0 \\ \end{array} $$ Il resto in basso a destra viene zero, come ci aspettavamo, e il polinomio risultante dalla divisione è \(x^2-7x+12\). Abbiamo quindi scomposto l'equazione polinomiale di partenza \(x^3-9x^2+26x-24=0\) in $$(x^2-7x+12)(x-2)=0$$ A questo punto grazie alla legge di annullamento del prodotto è sufficiente risolvere l'equazione di secondo grado \(x^2-7x+12\) che ha come soluzioni \(x=3\) e \(x=4\) e l'equazione di primo grado \(x-2=0\) che ha evidentemente come soluzione \(x=2\).
Ricapitolando l'insieme delle soluzioni dell'equazione di partenza è \( \{2,3,4 \}\).