La funzione esponenziale

Sono funzioni esponenziali le funzioni del tipo

$$y=a^x \quad a \in \Bbb R^+$$
Cioè sono funzioni da \(\Bbb R\) (Dominio) a \( \Bbb R^+ \) (Codominio) che ad ogni \(x\) in \(\Bbb R\) associano il numero positivo \(a^x \). In simboli: $$ \begin{align} f\colon \mathbb{R} &\to \mathbb{R^+} \\ x &\mapsto a^x. \end{align} $$ Impariamo a riconoscere il grafico di una funzione esponenziale. La forma del grafico è molto differente a seconda che la base \(a \) sia maggiore di 1 o minore di 1 (ma sempre e comunque positiva)


Caso \( a \gt 1 \):
Disegnamo ad esempio il grafico di \( y = 2^x \). Per avere un’idea si può calcolare il valore della funzione per qualche valore di \( x \) semplice e poi “indovinare” la forma generale del grafico:

X Y
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
Il grafico della funzione è
Grafico della funzione \(y=2^x\). Prova a diminuire lo zoom per notare come la funzione cresce molto rapidamente
Osserviazioni:
  • è una funzione crescente (segue dalla proprietà vista precedentemente: \( x\lt y \Leftrightarrow a^x\lt a^y \quad se \; a\gt 1 \) )
  • è sempre positiva, cioè è a valori in \( \Bbb R^+ \) (segue dal fatto che una potenza con base positiva \( a^x \) è sempre positiva)
  • non tocca mai l’asse x (non esiste una \(x \; tale \; che \; a^x =0 \))
  • interseca l’asse y nel punto \( (0,1) \) (infatti \( a^0 = 1 \) )
  • tende a 0 a sinistra (cioè per \( x \to -\infty \)) e tende a infinito a destra (cioè per \(x \to \infty \))

Nel caso in cui la base non sia 2 ma un altro numero \( a \gt 1 \) il grafico ha un comportamento qualitativamente simile:

Grafico della funzione \(y=a^x\). Muovi lo slider per modificare il valore di \(a\)

Caso \( 0 \lt a \lt 1 \):
Nel caso in cui la base \(a\) sia minore di 1 il grafico della funzione \(y=a^x\) ha invece questo comportamento

Grafico della funzione \(y=a^x\) con \(0 \lt a \lt 1\). Muovi lo slider per modificare il valore di \(a\)
Notiamo che in questo caso la funzione è decrescente. Anche in questo caso è sempre positiva (non attraversa mai l’asse x) e interseca l’asse y nel punto \( (0,1) \) (infatti \( a^0 = 1 \) )

Caso \( a= 1 \):
In questo caso poiché ovviamente \( 1^x = 1 \; \forall x \) il grafico è semplicemente quella della funzione costante uguale a 1 cioè una retta

Grafico della funzione \(y=1^x\)