Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono equazioni in cui l'incognita \(x\) viene elevata al quadrato, cioè equazioni della forma
$$ ax^2+bx+c=0, $$
dove \(a,b,c\) sono dei numeri reali (ovviamente vogliamo che \(a\) sia diverso da \(0\), altrimenti l'equazione sarebbe di primo grado).

Per questo tipo di equazioni esiste una formula risolutiva generale (che è valida sempre!), ma anche dei metodi più semplici nel caso si abbia \(b=0\) oppure \(c=0\).
Vedremo inoltre che questo tipo di equazioni possono avere \(2,1\), oppure \(0\) soluzioni.

Formula generale

La formula di risoluzione generale fa uso del cosiddetto discriminante dell'equazione, che indicheremo col simbolo \(\Delta\). Data un'equazione nella forma \(ax^2+bx+c=0\), il \(\Delta\) si calcola come
$$ \Delta=b^2-4ac. $$
Il \(\Delta\) dell'equazione può essere un numero positivo, nullo o negativo. Per trovare le soluzioni dell'equazione a partire dal \(\Delta\), dovremo distinguere tra questi \(3\) casi.

  • Caso \(\Delta>0\): in questo caso l'equazione ha due soluzioni, che chiameremo \(x_1\) e \(x_2\), che si possono calcolare attraverso le formule: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},$$ oppure, in modo del tutto equivalente, scrivendo in maniera compatta:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • Caso \(\Delta=0\): in questo caso l'equazione ha una sola soluzione o, più propriamente, due soluzioni coincidenti. La soluzione è data dalla stessa formula in cui però \(\Delta\) è uguale a 0:
    $$x=\frac{-b}{2a}.$$
  • Caso \(\Delta< 0\): in questo caso, l'equazione non ha nessuna soluzione reale.
Consideriamo l'equazione: $$3x^2-2x-1=0.$$ Calcoliamo innanzitutto il discriminante \(\Delta\), che ci dirà il numero delle soluzioni: $$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 3 \cdot (-1)=4+12=16.$$ Dato che \(\Delta >0\), avremo due soluzioni, che calcoliamo con la formula generale: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{2\pm 4}{6}\longrightarrow\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-\frac{1}{3}\end{cases}$$
Consideriamo l'equazione $$x^2-4x+4=0.$$ Come prima, calcoliamo il \(\Delta\): $$\Delta=(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4 = 16- 16=0.$$ Dato che \(\Delta=0\), avremo una sola soluzione, che corrisponderà a $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2.$$
Osservazione: possiamo osservare che la nostra equazione, vista come espressione in \(x\), è un quadrato perfetto: infatti $$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$ Possiamo quindi riscrivere l'equazione come: $$(x-2)^2=0,$$ o anche $$(x-2)\cdot (x-2)=0,$$ che ha necessariamente come unica soluzione \(x=2\). Questo succede sempre quando il \(\Delta=0\), ovvero si può sempre riscrivere l'equazione come un quadrato perfetto.
Inoltre, il fatto che l'equazione si scriva anche come \((x-2)\cdot (x-2)=0\) ci fa intuire come mai la terminologia matematica più appropriata per questo caso sia \(2\) soluzioni coincidenti, invece che una sola soluzione.

Vediamo ora come un'equazione di secondo grado si può risolvere ancora più velocemente se uno tra (o entrambi!) i coefficienti \(b\) e \(c\) è uguale a \(0\).

Formula nel caso \(b=0,c\neq 0\)

Nel caso in cui \(b=0\), l'equazione diventa naturalmente della forma $$ax^2+c=0,$$ che possiamo riscrivere come $$ax^2=-c,$$ ricavando quindi $$x^2=\frac{-c}{a}.$$ Quindi è facile capire che le possibili soluzioni sono della forma:
$$x_{1}=\sqrt{\frac{-c}{a}}, \quad x_{2}=-\sqrt{\frac{-c}{a}}.$$
Ma attenzione, questo non si può fare sempre! Come sappiamo, per calcolare la radice quadrata di un numero, abbiamo bisogno che il numero stesso sia positivo, quindi in questo caso ci dobbiamo assicurare che
$$\frac{-c}{a}>0.$$
In caso opposto, ovvero se il radicando è minore di \(0\) ci troviamo in un caso identico al caso \(\Delta< 0\) precedente, in cui non ci sono soluzioni reali.
Esempio 3: Consideriamo l'equazione: $$ -2x^2+3=0. $$ Siamo nel caso \(b=0\), per cui valutiamo la quantità: $$\frac{-c}{a}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}>0,$$ per cui ci sono due soluzioni, date da: $$x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Formula nel caso \(c=0,b\neq 0\)

Nel caso in cui \(c=0\), l'equazione diventa della forma $$ax^2+bx=0.$$ In questo caso, siccome entrambi gli addendi al primo membro dell'equazione contengono un termine \(x\), possiamo raccoglierlo e ottenere: $$(ax+b)x=0.$$ Osservando bene quest'ultima equazione, si può notare che si annulla soltanto se almeno uno tra i due fattori \(ax+b\) e \(x\) si annulla. Dunque, anche in questo caso ci sono due soluzioni reali, e sono esattamente le soluzioni delle due equazioni di primo grado \(ax+b=0\) e \(x=0\), ovvero:
$$x_1=\frac{-b}{a}, \quad x_2=0.$$
Rimane da analizzare il caso (molto semplice) in cui sia \(b\) che \(c\) sono uguali a \(0\)

Formula nel caso \(b=0,c=0\)

In questo caso l'equazione diventa della forma $$ax^2=0,$$ ed è immediato osservare che in questo caso si ha un'unica soluzione, dato che l'unico valore di \(x\) che soddisfa l'equazione è \(x=0\).



  • Esercizio
  • Qual è il discriminante \(\Delta\) dell'equazione \(x^2+3x-4=0\)?
  • Quante soluzioni reali ha l'equazione \(x^2-2x+1\)?
  • Risolvi l'equazione di secondo grado \(x^2=4\)
  • Esercizio
  • Qual è la soluzione più grande dell'equazione \(2x^2-x-6=0\)?
  • Esercizio
  • Qual è la soluzione più piccola dell'equazione \(-x^2+9x-8=0\)?