Grafico di una funzione iniettiva

Vediamo come si fa a capire se una funzione è iniettiva o meno a partire dal suo grafico. Ricordiamo che una funzione \(f: A\to B\) è iniettiva se ad elementi diversi del dominio associa elementi diversi del codominio, in formule: dati \(x_1,x_2 \in A\) $$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$ (se \(x_1\) e \(x_2\) sono diversi allora devono avere immagini diverse).

Prendiamo un classico esempio di funzione non iniettiva: la funzione di equazione \(f(x) = x^2\) (la solita parabola). Essa non è iniettiva perché ad esempio a \(2\) e a \(-2\), cioè a due elementi diversi del dominio \(\mathbb{R}\) associa lo stesso valore \(4\). Questo fatto si vede dal grafico della funzione, infatti in corrispondenza del valore \(y=4\) troviamo che esso associato sia al valore \(x=2\) che al valore \(x=-2\).
Sia ad \(x=-2\) che ad \(x=2\) è associato il valore \(y=4\): la funzione non è iniettiva.
Questo esempio ci fa intuire come deve essere il grafico di una funzione iniettiva: non deve mai succedere che una retta orizzontale intersechi più di una volta il grafico. Se vi è anche una sola retta orizzontale (corrispondente quindi ad una certo valore \(y\) nel codominio) che interseca più di una volta il grafico allora ci sarà più di una \(x\) nel dominio a cui è associato quel particolare valore di \(y\) e la funzione non sarà iniettiva.

Quindi il procedimento consiste nell'immaginare di tracciare infinite rette orizzontali e capire se può succedere che una di queste intersechi il grafico in due o più punti distinti.
Se nessuna retta orizzontale interseca il grafico più di una volta allora la funzione è iniettiva.
Se almeno una retta orizzontale interseca il grafico più di una volta la funzione non è iniettiva.

Naturalmente è impossibile disegnare infinite rette e inoltre il grafico della funzione sarà disegnato solo per alcuni valori di \(x\) anziché per tutti gli infiniti numeri reali, quindi questo procedimento richiede un po' di intuizione e di immaginazione per capire cosa può e cosa non può succedere con le rette e con le parti di grafico che non abbiamo disegnato.
Consideriamo ad esempio la funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) di equazione \(f(x)=x^3\)
Il grafico di \(y=x^3\). Comunque si tracci una retta orizzontale essa intersecherà il grafico una sola volta.
Vediamo che qualsiasi retta orizzontale venga tracciata (anche fuori dal "foglio") essa intersecherà il grafico della funzione una sola volta. Questo significa che non esistono due valori della \(x\) diversi a cui viene associata la stessa \(y\), dunque la funzione è iniettiva
Consideriamo la funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che ha il grafico in figura
La retta tracciata in rosso interseca il grafico della funzione due volte.
La retta disegnata in rosso interseca il grafico più di una volta pertanto la funzione non è iniettiva.