Combinazioni con ripetizioni

\(\require{cancel}\) Una combinazione con ripetizione di classe \(k\) è una scelta di \(k\) elementi, senza tenere conto dell'ordine, presi da un insieme di \(n\) elementi distinti con la possibilità di ripetere più volte un elemento. Per questo motivo in questo caso non ci sono limitazioni sul numero \(k\), che può anche essere maggiore di \(n\).

Le combinazioni con ripetizioni sono un argomento che si vede meno spesso rispetto agli altri argomenti del calcolo combinatorio in quanto dimostrare e capire intuitivamente perché la formula è fatta nel modo che vedremo è un po' più complicato che negli altri casi visti nelle lezioni precedenti.
Il numero di possibili combinazioni con ripetizione di \(n\) oggetti di classe \(k\) è
$$C'_{n,k} = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $$
ovvero è uguale al numero di combinazioni senza ripetizione (semplici) di \(n+k-1\) oggetti di classe \(k\).
Quante sono le possibili estrazioni diverse che si potrebbero ottenere al Superenalotto se si effettuasse con reimmissione della pallina nell'urna?
Un'estrazione consiste in 6 numeri estratti tra 1 e 90. Due estrazioni con gli stessi numeri che differiscono solo per l'ordine sono in realtà la stessa estrazione ai fini di una giocata. Per questo motivo l'ordine non importa e utilizzeremo le combinazioni. Dal momento che supponiamo che le estrazioni siano con reimmissione utilizzeremo in particolare le combinazioni con ripetizioni con \(n=90\) e \(k=6\). Il numero di possibili estrazioni è dunque $$C'_{90,6} = \binom{90+6-1}{6} = \binom{95}{6} = \frac{95!}{6! \cdot 89!} = \frac{95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91\cdot90\cdot\cancel{89!}}{6!\cdot\cancel{89!}} = 869107785$$