Disposizioni
Le
disposizioni sono usate per creare sequenze di oggetti presi da un insieme
senza però dover usare necessariamente
tutti gli oggetti. Nelle disposizioni l'
ordine conta, nel senso che due sequenze con gli stessi oggetti disposti in ordine diverso contano come sequenze differenti.
Se invece siamo interessati a contare il numero di sequenze non ordinate, cioè tali che due sequenze con gli stessi oggetti in ordine diverso sono viste come la stessa sequenza, useremo le
combinazioni.
Disposizioni semplici
Una
disposizione semplice di \(n\) elementi distinti \(k\) a \(k\) (oppure di \(n\) elementi di classe \(k\)) consiste nel disporre \(k\) elementi presi da un insieme di \(n\) senza possibilità di ripetizioni. Deve essere evidentemente \(k \lt n\) altrimenti è impossibile occupare tutti i \(k\) posti con un numero minore di elementi senza ripeterli.
Il numero delle possibili disposizioni di \(n\) elementi presi \(k\) alla volta senza ripetizioni è dato da
$$D_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$
Infatti abbiamo \(n\) possibili modi in cui scegliere il primo elemento, per scegliere il secondo rimangono \(n-1\) oggetti, \(n-2\) per scegliere il terzo e così via fino al \(k\)-esimo oggetto che si può scegliere tra gli \(n-k+1\) oggetti che sono rimasti non scelti. Per il
principio di moltiplicazione si ottiene la formula vista sopra.
Le prime 4 squadre classificate nella Serie A (20 squadre) possono accedere alla Champions League. In quanti possibili modi si possono configuare il primo, il secondo, il terzo e il quarto posto del campionato?
Dobbiamo disporre \(n=20\) squadre senza ripetizioni su \(k=4\) posti, con l'ordine che conta. Usiamo quindi la formula delle disposizioni semplici e otteniamo
$$D_{20,4} = \frac{20!}{16!} = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 =116280 $$
Da un mazzo di 52 carte vengono estratte 4 carte senza rimetterle nel mazzo. Quante possibili estrazioni (ordinate) si possono avere?
Poiché è specificato che l'ordine è importante e le carte non vengono rimesse nel mazzo, quind non si possono ripetere, usiamo le disposizioni semplici con \(n=52\) e \(k=4\). Si ottiene che il numero di estrazioni possibile è
$$D_{52,4} = 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 = 6497400 $$
Disposizioni con ripetizione
Supponiamo di voler disporre una sequenza ordinata di \(k\) oggetti presi da un insieme di \(n\) elementi distinti con la possibilità però di
ripetere più volte un oggetto dell'insieme. In questo caso non ci sono limitazioni su \(k\), che può essere anche maggiore di \(n\) in quanto potendo ripetere gli elementi si riesce lo stesso a coprire tutti i \(k\) posti.
Tali raggruppamenti vengono chiamati disposizioni con ripetizione ed il numero di modi in cui è possibile fare una disposizione con ripetizione è
$$D'_{n,k} = n^k$$
Infatti il primo elemento possiamo sceglierlo tra \(n\) scelte disponibili, il secondo ancora tra \(n\) scelte perché possiamo fare ripetizioni, il terzo tra \(n\) e così via per ognuno dei \(k\) posti. Per il
principio di moltiplicazione otteniamo \(\underbrace{n\cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{k \; \text{volte}} = n^k\).
Quanti numeri di 8 cifre si possono scrivere usando solo le cifre 0 e 1?
Si tratta di disporre su \(n=2\) numeri su \(k=8\) posizioni con la possibilità di ripetizioni. Inoltre l'ordine delle cifre è importante perché modificandolo si ottengono numeri diversi. Usiamo quindi la formula delle disposizioni con ripetizione e otteniamo
$$D'_{2,8} =2^8 = 256.$$
In informatica una sequenza di zero e uno lunga 8 è chiamata byte e può quindi assumere 256 possibili valori diversi.
Da un mazzo di 52 carte vengono estratte 4 carte una dopo l'altra rimettendole nel mazzo ogni volta. Quante possibili estrazioni (ordinate) si possono avere?
Poiché è specificato che l'ordine è importante usiamo le disposizioni. Poiché le carte vengono rimesse nel mazzo ogni volta, esse si possono ripetere in un'estrazione quindi in particolare usiamo le disposizioni con ripetizione (\(n=52\) e \(k=4\)). Si ottiene che il numero di estrazioni possibile è
$$D'_{52,4} = 52^4 = 7311616 $$