Grafico di una funzione suriettiva

Ricordiamo innanzitutto che una funzione si dice suriettiva se "prende" tutti gli elementi del codominio. Più precisamente, data una funzione \(f: A\to B\), essa è suriettiva se l'immagine \(f(A)\) coincide con l'insieme \(B\), in formule: $$\forall y\in B \quad \exists x\in A \quad t.c. \quad f(x)=y$$ (per ogni \(y\) appartenente a \(B\) esiste una \(x\) in \(A\) tale che \(y\) è uguale a \(f(x)\)).

Come deduciamo la suriettività di una funzione reale di variabile reale dal suo grafico?
Abbiamo visto che sul piano cartesiano il codominio della funzione è rappresentato da (una parte del)l'asse delle \(y\). L'immagine della funzione, ovvero le \(y\) che vengono "prese" da qualche \(x\) del dominio, è rappresentata dalla proiezione del grafico della funzione sull'asse \(y\). Affinché la funzione sia suriettiva l'immagine della funzione deve coincidere con il codominio. Quello che si fa è quindi immaginare di proiettare il grafico della funzione sull'asse delle \(y\) e verificare se questa proiezione coincide con il codominio. Vediamo qualche esempio.
Consideriamo la funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) di equazione \(y=2x+1\) (il grafico è semplicemente una retta).
Il codominio è per definizione \(\mathbb{R}\) (il secondo insieme che compare nella scrittura \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)). Dobbiamo quindi verificare che la proiezione del grafico sull'asse delle \(y\) coincida con \(\mathbb{R}\) cioè l'intero asse.
La proiezione del grafico sull'asse delle \(y\) coincide con il codominio, cioè tutto \(\mathbb{R}\)
È evidente che immaginando di proiettare la retta (anche la parte non disegnata, fuori dal foglio) sull'asse \(y\) lo si va a coprire tutto, quindi la funzione è suriettiva.
Prendiamo adesso la funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) di equazione \(y=x^2-1\) (la solita parabola traslata verso il basso di uno).
Leggiamo dalla definizione di funzione che il codominio è \(\mathbb{R}\). Se immaginiamo di proiettare il grafico della funzione sull'asse delle \(y\) si vede che andremo a coprire solamente i valori di \(y\) maggiori o uguali a -1, anziché tutta la retta. La funzione quindi non è suriettiva.
La proiezione del grafico sull'asse delle \(y\) corrisponde all'insieme \([-1,+\infty]\) mentre il codominio è \(\mathbb{R}\)
Attenzione: se avessimo preso la funzione \(g\) con la stessa identica equazione \(y=x^2-1\) ma definita come \(g: \mathbb{R} \to [-1,+\infty] \) ovvero definendo il codominio come l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali a meno uno la funzione sarebbe stata suriettiva. In questo modo andiamo a modificare il codominio per fare in modo che la proiezione del grafico sull'asse \(y\) coincida con esso.