L’equazione di una retta per due punti

Se vogliamo trovare l’equazione di una retta passante per due punti distinti assegnati \(A(x_1;y_1)\) e \(B(x_2;y_2) \), non allineati orizzontalmente o verticalmente possiamo utilizzare la formula

$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$

Siccome i punti non sono allineati né orizzontalmente né verticalmente, \(x_1\) è diverso da \(x_2\) e \(y_1\) è diverso da \(y_2\) pertanto i denominatori sono diversi da zero e non abbiamo problemi di definizione.
Scrivere l'equazione della retta passante per i punti \(A(1,2)\) e \(B(3,5)\).
Applichiamo la formula sostituendo di valori di \(x_1,x_2,y_1\) e \(y_2\): $$ \frac{x-1}{3-1} = \frac{y-2}{5-2} \rightarrow \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3}$$ $$ 3(x-1) = (y-2)2 \rightarrow 3x-3=2y-4$$ Da cui otteniamo \(y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\)

Retta per due punti allineati orizzontalmente

Se i due punti sono allineati orizzontalmente cioè hanno la stessa ordinata \(y_1=y_2\) allora l'equazione sarà semplicemente quella di una retta orizzontale passante per l'ordinata comune ai due punti. $$y=y_1$$
Scrivere l'equazione della retta passante per i punti \(A(-1,2)\) e \(B(3,2)\).
L'equazione della retta è \(y=2\)

Retta per due punti allineati verticalmente

Se i due punti sono allineati verticalmente cioè hanno la stessa ascissa \(x_1=x_2\) allora l'equazione sarà quella di una retta verticale passante per l'ascissa comune ai due punti. $$x=x_1$$
Scrivere l'equazione della retta passante per i punti \(A(3,-1)\) e \(B(3,4)\).
L'equazione della retta è \(x=3\)