Illustriamo adesso un modo per disegnare velocemente e con precisione una parabola di cui si sa l’equazione. Naturalmente è sempre possibile trovare tre punti della parabola e disegnare la curva che passa per essi, in modo analogo a come è stato fatto per la retta. Vediamo però un metodo in cui si sfrutta maggiormente il significato dei vari coefficienti e le formule studiate.
Illustriamo il metodo con un esempio: disegniamo la parabola
$$y=x^2-4x+1$$
Iniziamo trovando il vertice:
$$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2 \qquad y_V= \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4-12}{4}= -3 $$
Dunque il vertice è \(V(2;-3)\) e lo disegniamo sul grafico.
Il coefficiente a è positivo, quindi la parabola avrà concavità rivolta verso l’alto. Troviamo l’intersezione con l’asse y: è sufficiente porre x=0 nell’equazione per trovare la y corrispondente ovvero \(y=0^2-4\cdot 0 +1 = 1\) cioè il punto \(Q(0;1)\). (Nota che questo equivale a mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione \(x=0\) ovvero quella dell’asse y e ci permette quindi di trovare la loro intersezione). Disegniamo il punto Q sul grafico:
A questo punto per trovare un altro punto della parabola abbiamo varie alternative (le vedremo tutte per completezza):
1)Trovare le intersezioni con l’asse delle x (se ve ne sono)
2)Trovare l’asse di simmetria della parabola
3)Inserire la x di un punto nell’equazione per trovare la sua y affinché stia sulla parabola
1)Intersezioni con l’asse x
Per fare ciò poniamo y=0 nell’equazione della parabola (nota che ciò corrisponde a mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione y=0 ovvero quella dell’asse x e trovare quindi i punti di intersezione):
$$x^2-4x+1=0$$
$$x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}= \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$$
$$x_1=\frac{4 - \sqrt{12}}{2} \approx 0,27 \qquad x_2=\frac{4 + \sqrt{12}}{2} \approx 3,73$$
Disegniamoli sul grafico e tracciamo la parabola che passa per tutti i punti trovati:
2)Asse di simmetria
L’asse di simmetria sarà semplicemente la retta parallela all’asse delle y e passante per il vertice:
$$x=-\frac{b}{2a}$$
E lo tracciamo sul grafico: la parabola dovrà risultare simmetrica rispetto a tale asse.
3)Trovare un ulteriore punto sulla parabola
Troviamo ad esempio la y del punto di ascissa \(x=1\) affinché stia sulla parabola: sostituiamo nell’equazione \(x=1\) e otteniamo:
$$y= 1^2-4\cdot 1 + 1 = -2$$
Il punto ha quindi coordinate \((1,-2)\). Disegniamolo sul grafico e tracciamo la parabola passante per i tre punti