Determinare l'equazione di una circonferenza

Un classico esercizio di geometria analitica consiste nel trovare l'equazione di una circonferenza che soddisfi alcune condizioni date. Alcuni esempi di richieste che determinano univocamente una circonferenza sono:
  • Circonferenza che passi per tre punti non allineati
  • Circonferenza avente centro e raggio assegnati
  • Circonferenza avente centro assegnato e passante per un punto dato
  • Circonferenza con centro su una retta data e passante per due punti
  • Circonferenza con centro dato e tangente a una retta data
  • ...
Per risolvere questo tipo di esercizio possiamo in generale iniziare scrivendo l'equazione della generica circonferenza con tre parametri \(a,b,c\): $$x^2+y^2+ax+by+c=0$$ a questo punto traduciamo le condizioni che ci vengono date in condizioni sull'equazione generica della circonferenza in modo da trovare i valori di \(a,b,c\) che le soddisfano.

Vediamo alcuni esempi insieme

Circonferenza passante per tre punti

Siano dati tre punti \(A(1,2)\), \(B(3,0) \) e \(C(0,0)\). Determinare l'equazione della circonforeza passante per essi.

Iniziamo considerando l'equazione generica della circonferenza \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) e imponiamo il passaggio per ognuno dei tre punti: la circonferenza passa per un punto le sue coordinate soddisfano l'equazione della circonferenza, ovvero se si sostituiscono la x e la y del punto nell'equazione della circonferenza si ottiene un'identità.
Ad esempio il passaggio per \(A(1,2)\) è garantito se \(1^2+2^2 +a\cdot 1+b\cdot 2 + c=0 \rightarrow 5+a+2b+c=0\) Poichè la circonferenza deve passare per tutti e tre i punti contemporaneamente mettiamo a sistema le tre equazioni che si ottengono sostituendo le coordinate dei punti nell'equazione generica: \begin{cases} 1 + 4 + a + 2b + c = 0 \\ 9 + 3a +c = 0 \\ c = 0 \end{cases} Risolviamo il sistema: \begin{cases} 5 + (-3) + 2b = 0 \\ a = -3 \\ c = 0 \end{cases} e quindi \begin{cases} b = 1 \\ a = -3 \\ c = 0 \end{cases} Pertanto l'equazione richiesta passante per i punti data ha equazione \(x^2+y^2-3x-y=0 \)
La circonferenza passante per i tre punti dati

Circonferenza dati centro e raggio

Determinare l'equazione della circonferenza avente centro \(C(1,1)\) e raggio 2.

Risolviamo questo problema con due modi, equivalenti. Per il primo scriviamo ancora una volta l'equazione generica della circonferenza \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) e ricordiamo le formule di centro e raggio \( C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \) e \( r=\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c} \). Imponendo i valori richiesti si ottiene \begin{cases} 1 = -\frac{a}{2} \\ 1 = -\frac{b}{2} \\ 2 = \sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c} \end{cases} (dove la prima equazione serve a richiedere che \(x_c\) sia 1, la seconda che \(y_c\) sia 1 e la terza che il raggio sia 2). Risolvendo: \begin{cases} a = -2 \\ b = -2 \\ 4 = {\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c \end{cases} da cui, continuando a risolvere, otteniamo \(a=-2, b=-2, c=-2\), per cui l'equazione richiesta è \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\)
La circonferenza con centro e raggio dati


Un modo alternativo, e in questo caso più semplice, consiste nel ricordare l'altra forma dell'equazione della circonferenza in cui sono già in evidenza centro e raggio: \( (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 \). In questo modo è un attimo imporre le condizioni richieste: $$(x-1)^2+(y-1)^2=4$$ da cui sviluppando i quadrati dei binomi otteniamo $$x^2 + y^2 -2x -2y -2=0$$

Circonferenza con centro su una retta data e passante per due punti

Determinare l'equazione della circonferenza avente centro sulla retta di equazione \(y=x+1 \) e passanti per i punti \(O(0,0)\) e \(A(0,5) \)

Sappiamo che le coordinate del centro di una circonferenza di equazione \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) sono date da \( C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \). Per stare sulla retta data tali coordinate devono soddisfarne l'equazione una volta sostituite al posto della x e della y, ovvero deve essere \(y_C=x_C+1\) e dunque \( -\frac{b}{2}= -\frac{a}{2} +1 \). La condizione di passaggio della circonferenza per i punti \(O\) e \(A\) si richiede come visto negli esempi precedenti. Mettendo a sistema le tre condizioni si ottiene: \begin{cases} -\frac{b}{2}= -\frac{a}{2} +1 \\ c=0 \\ 25+5b=0 \end{cases} Risolvendo: \begin{cases} a = b + 2 \\ c = 0 \\ b = -5 \end{cases} Pertanto la circonferenza richiesta ha equazione \(x^2+y^2-3x -5y=0\)