Rette tangenti a una circonferenza

Vediamo ora come fare per trovare l'equazione di una retta tangente ad una circonferenza. In questo caso ci potrebbe ad esempio venire data una circonferenza ed un punto appartenente ad essa e si potrebbe richiedere di trovare l'unica retta tangente alla circonferenza in tale punto. Un altro esercizio potrebbe consistere nell'assegnare un punto esterno alla circonferenza, in questo case allora si troverebbero due rette distinte pasanti per quel punto e tangenti alla circonferenza data.

La procedura che seguiremo per trovare la retta tangente è la seguente:
  1. Scrivere l'equazione del fascio di rette che soddisfa la condizione data (ad esempio che passano tutte per un punto). Il fascio avrà un parametro, solitamente chiamato \(k\) o \(m\), al variare del quale si otterranno le diverse rette componenti il fascio (il nostro compito è di trovare la (o le) rette del fascio che sono anche tangenti alla circonferenza)
  2. Mettere a sistema l'equazione del fascio di rette e della circonferenza per trovare le intersezioni. A questo punto imporre che ci sia una sola intersezione (condizione di tangenza), il che si traduce nell'imporre che sia \(\Delta=0\) nell'equazione risolvente del sistema. Risolvere per trovare quindi il valore del parametro \(k\) o \(m\) che annulla tale delta

Procedura

Troviamo la retta tangente alla circonferenza di equazione \(x^2 +y^2 -3y = 4\) e passante per il punto \(P(0,5)\).

Il punto \(P(0,5)\) è esterno alla circonferenza (sostituendo le sue coordinate nell'equazione della circonferenza otteniamo \(0^2 + 5^2-3\cdot 5 = 4\) che non è un'identità). Ci aspettiamo quindi di trovare due rette tangenti distinte.

Iniziamo scrivendo il fascio di rette passante per il punto P utilizzando la formula \(y-y_P=m(x-x_P) \) in cui andiamo ad inserire le coordinate del punto P ma lasciamo il parametro \(m\) libero. Questa formula rappresenta tutte le possibili rette passanti per P ma libere di "ruotare" intorno ad esso, il nostro compito è quello di trovare le due rette di tale fascio (e quindi i due valori di m) che sono tangenti alla circonferenza.
Modifica il valore di \(m\) per visualizzare le diverse rette del fascio per il punto \(P\). Esistono due rette passanti per \(P\) e tangenti alla circonferenza
Mettiamo dunque a sistema fascio e circonferenza: $$ \begin{cases} x^2+y^2-3y-4=0 \\ y = m(x-0) + 5 \end{cases} $$ Sostituiamo nell'equazione della circonferenza la y ricavata nella seconda equazione e otteniamo $$x^2 + (mx+5)^2 - 3(mx+5) -4=0$$ $$x^2 + m^2x^2 +10mx + 25 -3mx -15 -4=0$$ $$\underline{\underline{x^2}} +m^2\underline{\underline{x^2}} +7m\underline{x} +6=0$$ Mettiamo in evidenza i temrini incogniti \(x\) e \(x^2\) raccogliendone i coefficienti $$\underbrace{(1+m^2)x^2}_{ax^2} + \underbrace{7m x}_{bx}+ \underbrace{6}_{c}=0$$ Le soluzioni \(x_{1,2}\) di questa equazione sono le ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola. Affinche la retta sia tangente vogliamo che ci sia un unico punto di intersezione e quindi una sola \(x\). Ricordiamo che un'equazione di secondo grado ha una sola soluzione solo se è \(\Delta=0\). Imponiamo questa condizione: $$\Delta = b^2-4ac= 49m^2-4(1+m^2)6=0$$ $$49m^2-24-24m^2=0$$ $$25m^2-24=0$$ e (facendo attenzione alla risoluzione, è un'equazione di secondo grado in m e può ammettere due soluzioni!) otteniamo $$m= \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ Abbiamo quindi trovato (come ci aspettavamo) due valori di \(m\) che identificano rette del fascio tangenti alla circonferenza. Sostituiamo infine i due valori trovati nell'equazione del fascio \(y = m(x-0) + 5\) per ottenere le due rette tangenti: \(y= \frac{2\sqrt{6}}{5} x +5 \) e \( y= -\frac{2\sqrt{6}}{5} x + 5 \).

Un altro esempio

Vediamo ora un altro esempio in cui però il punto P attraverso il quale deve passare la tangente appartiene alla circonferenza. Calcoliamo quindi l'equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione \(x^2 +y^2 -3x = 4\) e passante per il punto \(P(0,2)\).

Il punto \(P(0,2)\) appartiene alla circonferenza (sostituendo le sue coordinate nell'equazione della circonferenza otteniamo \(0^2 +2^2 -3\cdot 0 = 4\) che è un'identità). Ci aspettiamo quindi di trovare una sola retta tangente.
Modifica il valore di \(m\) per visualizzare le diverse rette del fascio per il punto \(P\). Esiste una sola retta per \(P\) e tangente alla circonferenza

Il fascio di rette passante per il punto P è determinato dall'equazione \(y = mx +2\). Mettiamo a sistema tale fascio con l'equazione della circonferenza: $$ \begin{cases} x^2+y^2-3x-4=0 \\ y = mx+2 \end{cases} $$ Sostituendo nell'equazione della circonferenza la \(y\) ricavata dalla seconda equazione otteniamo l'equazione risolvente $$x^2+(mx+2)^2-3x-4=0$$ $$x^2 +m^2x^2+4mx+4-3x-4=0$$ $$x^2+m^2x^2 +4mx-3x=0$$ $$(1+m^2)x^2 + (4m-3)x = 0$$ Equazione di secondo grado in \(x\) con un parametro \(m\). Come prima vogliamo trovare il valore del parametro affinche l'equazione ammetta una sola soluzione \(x\). Per questo motivo imponiamo che sia \(\Delta=0\) $$\Delta= b^2-4ac = (4m-3)^2=0$$ la cui unica soluzione è \(m= \frac{3}{4}\), pertanto la retta tangente ha equazione \(y= \frac{3}{4}+2\).