La parabola con asse parallelo all'asse x

Finora abbiamo visto parabole con asse di simmetria verticale, cioè parallelo all'asse y. È semplice ricavare l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x, infatti ogni parabola di questo tipo si può ottenere applicando una riflessione, rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ad una parabola con asse verticale.
Partiamo dunque dall'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y $$y=ax^2 +bx+c$$ ed applichiamo la simmetria descritta sopra. Essa altro non fa che scambiare la variabile x con la variabile y, come ci si può convincere facilmente guardando il disegno sopra. $$ \begin{cases} x'=y\\ y'=x \end{cases} $$ Scambiando quindi x e y nell'equazione di partenza otteniamo
$$x=ay^2+by+c$$
ovvero l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x.

Con lo stesso procedimento, cioè scambiando la x e la y otteniamo tutte le varie formule utili nello studio della parabola (fuoco, vertice, direttrice...).
Il vertice avrà coordinate
$$V\left(\frac{4ac-b^2}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)$$
dunque l'asse di simmetria della parabola è la retta orizzontale di equazione
$$y= -\frac{b}{2a}$$
Infine il fuoco ha coordinate
$$F\left(\frac{1+4ac-b^2}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)$$
e la direttrice
$$x= \frac{-1+4ac-b^2}{4a}$$