L’equazione della circonferenza

Data la definizione di una circonferenza di centro C e raggio r possiamo sfruttarla per ricavarne l’equazione.

Siano \(C(x_c,y_c)\) le coordinate del centro, allora tutti i punti \((x,y)\) appartenenti alla circonferenza devono avere la stessa distanza (chiamiamola \(r\) come "raggio") dal centro ovvero deve essere $$\sqrt{(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2}= r$$ Dove la parte con la radice è la distanza tra due punti del piano cartesiano. Elevando entrambi i termini al quadrato (si vede facilmente che ci sono le condizioni per farlo, il termine sotto radice è positivo essendo somma di due quadrati, mentre per il secondo termine imporremo noi che il raggio r di una circonferenza sia maggiore o uguale a zero) si ottiene:
$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$$
che è l'equazione della circonferenza con centro \(C(x_c, y_c)\) e raggio \(r\) dati. Questo vuol dire che un punto \( (x,y ) \) del piano cartesiano appartiene alla circonferenza di centro \(C(x_c,y_c)\) e raggio \(r\) se e solo le sue coordinate \(x,y\) soddisfano l’equazione, ovvero se sostituendo le coordinate del punto nell’equazione si ottiene un’identità.

L’equazione canonica della circonferenza

Possiamo anche riscrivere l’equazione appena trovata in un'altra forma equivalente (a volte detta canonica). Per fare ciò svolgiamo i quadrati di binomi e otteniamo $$x^2 -2xx_x +x_c^2 + y^2 -2yy_c + y_c^2-r^2=0$$ e se vogliamo dare dei nomi più semplici ad alcuni termini per rendere più facilmente leggibile la formula poniamo \(a=-2x_c, \quad b=-2y_c, \quad c=x_c^2+y_c^2-r^2\) per ottenere l'equazione
$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$
Si tratta di un’equazione di secondo grado nelle incognite \(x\) e \(y\), senza il termine misto con il prodotto \(xy\) e i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) uguali a 1.

I coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) devono essere uguali tra loro ma non devono per forza essere uguali a uno: nel caso non lo fossero basterebbe dividere l'intera equazione per il coefficiente di \(x^2\) e \(y^2\) in modo da renderli uguali a 1
Ci si può chiedere, viceversa, quando un'equazione della forma \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) rappresenta una circonferenza nel piano cartesiano.
Partiamo dall'equazione, aggiungiamo e togliamo i termini \( \frac{a^2}{4} \) e \(\frac{b^2}{4} \) per applicare il metodo del completamento dei quadrati. Otteniamo $$ x^2+y^2+ax+by+c +\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} $$ Riordinando i termini in modo da evidenziare il quadrato del binomio $$\left( x^2 + ax + \frac{a^2}{4} \right) + \left(y^2 + by + \frac{b^2}{4} \right) = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} -c $$ Ovvero $$\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + \left(y + \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} -c $$ La parte a sinistra una somma di quadrati (un numero maggiore o uguale a zero) e rappresenta la distanza di un generico punto \((x;y)\) da \( C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \) pertanto il secondo membro deve essere maggiore o uguale a zero: $${\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c >= 0$$

Trovare centro e raggio della circonferenza

Se la circonferenza è data in forma \((x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 =r^2 \) allora raggio e coordinate del centro si evincono istantaneamente guardando l’equazione, bisogna solo fare attenzione al fatto che il raggio compare al quadrato e che le coordinate del centro compaiono con il segno opposto (hanno un meno davanti). Vediamo con attenzione un esempio per capire come si fa.
Determinare centro e raggio della circonferenza di equazione \((x+2)^2+(y-4)^2=16\).
In questo caso il centro ha coordinate \(C(-2,4)\) e raggio \(r=4\). Infatti possiamo riscrivere l’equazione come $$(x-(\underbrace{-2}_{x_c}))^2+(y-(\underbrace{4}_{y_c}))^2={\underbrace{4}_{r}}^2$$ Da cui si capisce che \(x_c\) (il termine a fianco di “x-…”) è -2 e \(y_c\) è 4. Infine il raggio al quadrato è 16 e dunque il raggio è uguale 4 (la radice di 16)
Se la circonferenza è data tramite l’equazione canonica allora si può fare una delle seguenti due cose:
  1. Usare le formule di centro e raggio
  2. Portare l’equazione canonica nella forma \((x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 =r^2 \) tramite il metodo del completamento dei quadrati, e da qui leggere semplicemente centro e raggio come visto sopra
Ricaviamo quindi le formule di centro e raggio dall’equazione in forma canonica \(x^2+y^2+ax+by+c=0\). Per farlo ricordiamo che nel ricavare la formula canonica avevamo posto per semplicità \(a=-2x_c, \quad b=-2y_c, \quad c=x_c^2+y_c^2-r^2\). E’ quindi sufficiente invertire queste relazioni per ottenere $$x_c=-\frac{a}{2}, \quad y_c=-\frac{b}{2}, \quad r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c}=\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c}$$ E dunque si ha
$$C(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}), \quad r=\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c}$$

Vediamo ora due esempi in cui ricaviamo le coordinate del centro e il raggio di una circonferenza la cui equazione ci viene data in forma canonica.
Sia data la circonferenza di equazione \(x^2+y^2+4x+2y+4=0\). Determinare centro e raggio della circonferenza tramite le formule.

Applichiamo le formule per ricavare subito il centro e otteniamo \(x_c = -\frac{a}{2} = -\frac{4}{2}=-2\) e \(y_c = -\frac{b}{2} = -\frac{2}{2}=-1\),
mentre il raggio misura \( r=\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c } = \sqrt { (-2)^2+(-1)^2-4} = \sqrt{4+1-4} = \sqrt{1}=1 \)
Dunque ricapitolando \(C\left(-2;-1 \right) \) e \(r=1\).
Sia data la circonferenza di equazione \(x^2+y^2+-2x+4y-11=0\). Determinare centro e raggio della circonferenza tramite il metodo del completamento del quadrato.

Per esercizio rivedere entrambi gli esempi applicando l'altro metodo per ricavare centro e raggio