Circonferenze particolari

Vediamo adesso alcuni casi in cui alcuni dei coefficienti nell'equazione della circonferenza \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) sono nulli e di conseguenza il grafico presenta determinate caratteristiche.

Caso \(a=0\) e \(b=0\)

Nel caso in cui entrambi i coefficienti della x e della y siano nulli siamo in presenza di una circonferenza con centro nell'origine \(C(0;0)\) e raggio \(r= \sqrt{-c} \), pertanto molto semplice da disegnare.

L'equazione infatti diventa $$x^2+y^2+c=0$$ e possiamo sia applicare le formule di centro e raggio per ricavare quanto detto sopra opppure accorgerci che l'equazione si può vedere scritta così: $$(x-0)^2+(y-0)^2=-c$$ da cui si capisce subito che \(x_c=0\), \(y_c=0\) e poichè il termine al secondo membro (\(-c\)) corrisponde a \(r^2\) si ha che \(r= \sqrt{-c}\).

Caso \(a=0\)

Nel caso in cui il coefficiente della x, cioè a, sia nullo allora l'equazione, che diventa \(x^2+y^2+by+c=0\), rappresenta una circonferenza con centro sull'asse delle ordinate, cioè delle \(y\).

L'equazione infatti diventa $$x^2+y^2+by+c=0$$ e applicando la formula del centro otteniamo \(x_c= -\frac{a}{2}=0\) e \(y_c=-\frac{b}{2}\) ovvero \(C(0;-\frac{b}{2}\)).

Caso \(b=0\)

Nel caso in cui il coefficiente della y, cioè b, sia nullo allora l'equazione, che diventa \(x^2+y^2+ax+c=0\), rappresenta una circonferenza con centro sull'asse delle ascisse, cioè delle \(x\).

L'equazione infatti diventa $$x^2+y^2+ax+c=0$$ e applicando la formula del centro otteniamo \(x_c= -\frac{a}{2}\) e \(y_c=-\frac{b}{2}=0\) ovvero \(C(-\frac{a}{2};0\)).


Rivedendo adesso il caso \(a=0\) e \(b=0\) capiamo come in quel caso la circonferenza deva avere centro sia sull'asse delle x che sull'asse delle y e l'unico punto su entrambi gli assi è l'origine.

Caso \(c=0\)

Nel caso in cui il termine noto c sia nullo allora l'equazione, che diventa \(x^2+y^2+ax+bx=0\), rappresenta una circonferenza passante per l'origine degli assi.
Non possiamo infatti dire nulla di evidente su centro e origine (dobbiamo applicare le formule) ma possiamo notare che sostituendo le coordinate dell'origine \(O(0;0)\) otteniamo una identità: $$0^2 + 0^2 + a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0$$ e dunque poichè l'origine degli assi soddisfa l'equazione l'origine appartiene alla circonferenza.

Caso \(a=0\) \(b=0\) e \(c=0\)

In questo caso particolare si ritroviamo con una circonferenza degenere con centro nell'origine e raggio zero, in pratica un solo punto.

L'unico punto infatti che soddisfa l'equazione $$x^2+y^2=0$$ è \((0;0)\) (un quadrato è sempre maggiore o uguale a zero, quindi per fare zero la somma di due termini maggiori o uguali a zero devono essere entrambi uguali a zero).
Questo torna con il fatto che avendo a e b uguali a zero la circonferenza deve avere centro nell'origine ma avendo c uguale a zero deve anche passarci dall'origine: l'unico modo è che abbia raggio zero.