Rette parallele e rette perpendicolari
Rette parallele
Come abbiamo visto in precedenza il coefficiente angolare ci dà informazioni sulla pendenza di una retta (se la retta non è parallela all’asse y in quanto per quest’ultime il coefficiente angolare non è definito). Poiché due rette parallele hanno la stessa “pendenza” siamo portati a credere che due rette (non parallele all’asse y) sono parallele se e solo se hanno stesso coefficiente angolare. Effettivamente è così: data \(r:y=mx+q\) e \(s:y=m’x+q’\)
$$r \parallel s \Leftrightarrow m=m’$$
Se le due rette in questione sono invece parallele all'asse y, allora naturalmente sono anche parallele tra loro.
La retta \( y=2x+5 \) e la retta \(6x-3y+9=0 \) sono parallele. Infatti se scriviamo la seconda retta in forma esplicita per trovarne il coefficiente angolare otteniamo
$$3y = 6x+9 \; \rightarrow \; y=2x+3$$
dunque entrambe le rette hanno coefficiente angolare uguale a 2 e pertanto sono parallele.
La retta \( x=1 \) e la retta \(5x+6=0 \) sono parallele.
Infatti sono entrambe rette parallele all'asse y e dunque parallele tra loro (la seconda è la retta \(x= -\frac{6}{5} \)).
Rette perpendicolari
Si può invece dimostrare con l’aiuto del secondo teorema di Euclide che due rette (non parallele agli assi) sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno il reciproco dell’opposto dell’altro. In formule:
$$r \perp s \Leftrightarrow m’ = -\frac{1}{m} \Leftrightarrow m\cdot m’ = -1 $$
È evidente invece che se una retta è parallela ad un asse, la seconda retta, per esservi perpendicolare, deve essere una retta parallela all'altro asse.
La retta \( y=3x+7 \) e la retta \(y=-\frac{1}{3}x +1 \) sono perpendicolari.
Infatti i loro coefficienti angolari (\(3\) e \(-\frac{1}{3}\)) sono uno il reciproco dell'opposto dell'altro.
La retta \( y=5 \) e la retta \(x=-1 \) sono perpendicolari.
Infatti la prima è una retta orizzontale mentre la seconda è una retta verticale, pertanto sono perpendicolari.