Gli intervalli
Un intervallo è un sottoinsieme dell'insieme \( \mathbb{R}\) dalla forma particolarmente semplice ma di fondamentale importanza in matematica.Intuitivamente un intervallo è insieme formato da tutti i numeri compresi tra due estremi dati, con la possibilità che uno o entrambi questi estremi siano uguali ad "infinito". Inoltre è possibile includere o escludere dall'insieme tali estremi.
Per indicare l'intervallo \(I \in \mathbb{R} \) di tutti i numeri compresi tra il numero \(a \) e il numero \(b\) useremo la seguente notazione: $$ (a,b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b \}$$ ("l'insieme delle x appartenenti all'insieme dei numeri reali, tali che x è maggiore di a e minore di b") se gli estremi \(a\) e \(b \) non sono inclusi nell'intervallo e $$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$$ se gli estremi \(a\) e \(b \) non sono inclusi nell'intervallo.
Abbiamo detto che gli estremi possono anche essere presi uguali ad infinito, in questo modo si ottengono intervalli illimitati, ad esempio $$ (a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \gt a\} $$ indica l'intervallo formato da tutti i numeri tra \(a\) (escluso) ed "infinito" ovvero tutti i numeri maggiori di \(a\), mentre $$ (-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\} $$ indica l'intervallo di tutti i tra meno infinito e \(b\) (incluso), cioè i numeri minori o uguali a \(b\).
Nota: la scrittura con il simbolo \( \infty \) è una convenzione che viene usata perché molto comoda. Sempre per convenzione non avremo mai la parentesi quadra dalla parte di un estremo infinito (intuitivamente non possiamo includere "\(\infty \)", non è neanche un numero reale).
Nota: Anche tutto l'insieme \( \mathbb{R} \) e l'insieme vuoto \( \emptyset \) sono intervalli, infatti \( \mathbb{R} \) si può scrivere come \( (-\infty, \infty) \), mentre l'insieme vuoto si può scrivere come \( (a, a)\) (l'insieme dei numeri compresi tra \(a \) e \(a \) stesso ma con \(a\) escluso: nessun numero).