La retta

Iniziamo con lo studio di uno degli enti geometrici più semplici, la retta, dal punto di vista della geometria analitica.

Impareremo qual è la sua equazione e come disegnarla, come trovare l’equazione di una retta che soddisfi alcune condizioni come il passaggio per due punti o altre condizioni di parallelismo o perpendicolarità. Studieremo infine i fasci di rette e le loro proprietà.

L’equazione della retta

Si può dimostrare senza grosse difficoltà che ad ogni equazione del tipo

$$ax+by+c=0$$

con a e b non entrambi nulli corrisponde una retta del piano cartesiano e viceversa ogni retta del piano cartesiano ha un’equazione di quel tipo, cioè più precisamente un’equazione lineare di primo grado in due variabili x e y.

Cosa vuol dire che una retta ha una certa equazione? Vuol dire che

Preso un punto $P(x_0;y_0)$ qualsiasi sulla retta, le sue coordinate $(x_0;y_0)$ soddisfano l’equazione, cioè se sostituite al posto di x e y danno luogo ad un’identità. In simboli $P(x_0;y_0) \in r \Rightarrow ax_0+by_0+c = 0$
Solamente i punti della retta soddisfano l’equazione, ovvero se $P(x_0;y_0) \notin r \Rightarrow ax_0+by_0+c \ne 0$

Esempio (Clicca per espandere)

Guardiamo innanzitutto alcuni casi semplici. Consideriamo l’equazione:

$$x=0$$

Che è un caso particolare di $ax+by+c=0$ con $a=1, \; b=0, $ e $ c=0 $.

Essa rappresenta quindi tutti i punti che hanno appunto coordinata x nulla, mentre non imponendo condizioni sull’ordinata y essa può assumere qualsiasi valore reale. Questi sono esattamente i punti dell’asse verticale, cioè l’asse y. Quindi l’equazione della retta $x=0 $ individua l’asse y.

L’equazione

$$x=2$$

Come si intuisce, rappresenta invece la retta verticale che taglia l’asse x nel punto di coordinata 2.

Poniamo adesso $a=0 \; b=1\; c=-4 $ nell’equazione $ax+by+c=0$. Otteniamo, spostando il termine noto a destra,

$$y=4$$

Essa rappresenta la retta parallela all’asse x che taglia l’asse y nel punto 4. Sono infatti tutti i punti che hanno coordinata x qualsiasi e coordinata y uguale a 4.

Quale dei seguenti punti appartiene alla retta $y=2x+4$ ?

Quale delle seguenti è una retta parallela all'asse y?