La parabola

La parabola è una conica cioè una delle curve che si possono ottenere sezionando la superficie di un cono con un piano (le altre coniche sono la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole).

La parabola è definita in geometria analitica come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Una parabola, il suo fuoco F e la sua direttrice. Ogni punto P sulla parabola ha la stessa distanza da F e dalla direttrice (trascina il punto P per vedere come cambiano).

Notiamo che la parabola ha un’asse di simmetria. Tale asse è la retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice. Il punto della parabola che interseca l’asse di simmetria è detto vertice della parabola.

Iniziamo a studiare le parabole più “semplici” cioè quelle che hanno vertice nell’origine e come asse di simmetria l’asse y.

La parabola con vertice nell’origine

La parabola con vertice nell’origine e l’asse y come asse di simmetria ha equazione

$$y=ax^2$$

con $a \ne 0$.

Vediamo come si arriva a questa equazione:

Il vertice della parabola è l’origine degli assi e per definizione tale punto deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Poiché quest’ultima è una retta parallela all’asse x avrà equazione

$$y=-d$$

Mentre il fuoco è un punto dell'asse y che per essere equidistante dovrà avere coordinate

$$F(0;d)$$

Consideriamo ora un generico punto $P(x;y)$ della parabola: imponiamo quindi la condizione di appartenenza alla parabola, cioè che sia equidistante dal fuoco e dalla direttrice. In formule:

$$\overline{PF}=\overline{PH}$$

Vediamo che $ \overline{PF} = \sqrt{x^2 + (y-d)^2} $ (applicando la formula della distanza tra due punti) e $ \overline{PH} = \mid y-(-d) \mid = \mid y + d \mid $, imponiamo che siano uguali e troviamo la relazione tra x e y

$$ \sqrt{x^2 + (y-d)^2} = \mid y + d \mid $$

Eleviamo al quadrato entrambi i membri e otteniamo:

$$ x^2 + (y-d)^2 = (y+d)^2$$

$$x^2 +y^2 -2yd + d^2 = y^2 +2yd +d^2 $$

$$x^2 -4yd=0$$

Ricaviamo y :

$$y= \frac{1}{4d}x^2$$

(notiamo che poiché il fuoco non coincide con l’origine, $d\ne 0$ e il denominatore non dà problemi) e chiamiamo $a=\frac{1}{4d} $ per ottenere l’equazione

$$y=ax^2$$

Possiamo a questo punto ritrovare, data l’equazione di una parabola con vertice nell’origine $y=ax^2$, le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice: dalla sostituzione fatta $a=\frac{1}{4d} $ ricaviamo $d=\frac{1}{4a}$ e dunque:

$$F\left(0; \frac{1}{4a}\right) \qquad y=-\frac{1}{4a} $$

$$disegno$$

Il segno di a ed il suo valore ci danno informazioni sulla concavità della parabola:

In base al segno di a vediamo com’è rivolta la parabola. Se $a \gt 0$ la parabola è rivolta verso l’alto. Se $a \lt 0 $ la parabola è rivolta verso il basso.

Il valore di a invece ci dice quanto è “aperta” la parabola: all’aumentare di a la parabola diventa meno aperta. Muovendo lo slider nel grafico qui sotto si possono modificare i valori di a e sperimentare queste cose

Trascina lo slider per modificare il valore di a

La parabola con asse parallelo all’asse y

Passiamo ora a studiare la parabola generica ovvero con vertice che non si trova più per forza nell’origine (ma sempre con asse parallelo all’asse y).

Per trovare la sua equazione prendiamo la parabola con vertice nell’origine e facciamo semplicemente una traslazione.

Traslazione della parabola

Notiamo che ad esempio l’origine viene traslata nel nuovo vertice della parabola $V(x_V;y_V)$. La trasformazione è quindi una traslazione di vettore $ \vec v (x_V;y_V) $ ed ha equazione:

$$\begin{cases} x’=x+x_V \\ y’=y+y_V \end{cases}$$

Cioè la nuova ascissa dopo la traslazione sarà la vecchia ascissa $x$ più $x_V$. Stesso discorso per y. Ricaviamo l’espressione delle vecchie x e y in funzione delle nuove:

$$\begin{cases} x=x’-x_V \\ y=y’-y_V \end{cases}$$

e sostituiamo nell’equazione della parabola $y=ax^2$ per ottenere l’equazione della parabola traslata:

$$y’-y_V=a(x’-x_v)^2$$

Eliminiamo per comodità gli apici di $x’$ e $y’$ (tanto ormai utilizziamo solo le nuove coordinate e la vecchia parabola non ci interessa più) e svolgiamo il quadrato per vedere l’equazione in un’altra forma:

$$y=ax^2 -2ax_Vx + ax_V^2 +y_V$$

Ora poniamo $b=-2ax_V$ e $c=ax_V^2 + y_V$ ed otteniamo quindi:

$$y=ax^2+bx+c$$

Che è l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

Naturalmente deve essere ancora $a\ne 0$ altrimenti torniamo all'equazione di una retta

Possiamo poi ottenere le coordinate del vertice $V(x_V;y_V)$ in funzione di b e c ricavandolo da $b=-2ax_V$ e $c=y_V+ax_V^2$:

$$x_V = -\frac{b}{2a}$$

$$y_V = \frac{4ac-b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}$$

Dove $\Delta = b^2-4ac$ è il solito Delta delle equazioni di secondo grado.

Per trovare le coordinate del fuoco sfruttiamo il fatto che esse sono le semplicemente le coordinate del fuoco della parabola con vertice nell’origine cioè $F(0;\frac{1}{4a})$ traslate di un vettore $ \vec v (x_V;y_V) $:

$$x_F=0+x_V=-\frac{b}{2}$$

che è quello che ci si aspetta dato che il fuoco sta sulla stessa verticale del vertice e

$$y_F=\frac{1}{4a} + y_V = \frac{1}{4a} -\frac{\Delta}{4} = \frac{1-\Delta}{4a}$$

Il fuoco ha quindi coordinate

$$F(-\frac{b}{2};\frac{1-\Delta}{4a})$$

Allo stesso modo traslando la direttrice si ottiene $y=-\frac{1}{4a}+y_V $ ovvero

$$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$$