Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Una retta rispetto a una circonferenza si può dire:

• Esterna se non ha alcun punto in comune con la circonferenza
• Tangente se interseca la circonferenza in un unico punto
• Secante se interseca la circonferenza in esattamente due punti distinti

Determinare la posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Data l'equazione di una circonferenza e l'equazione di una retta è possibile determinare se quest'ultima è esterna, tangente o secante alla circonferenza.

Per fare ciò è sufficiente mettere a sistema le due equazioni e trovare il numero di soluzioni. Infatti mettere a sistema due equazioni permette di trovare le soluzioni comuni ad entrambe e cioè quei punti che soddisfano tutte e due le equazioni, sia quella della circonferenza che quella della retta. Poichè soddisfano entrambe le equazioni contemporaneamente tali punti soluzione del sistema appartengono ad entrambe le curve, cioè all'intersezione tra la retta e la circonfernza. Se troveremo due soluzioni allora retta e circonferenza avranno due punti in comune e saremo nel caso di retta secante. Se troveremo una sola soluzione allora retta e circonferenza avranno un solo punto in comune e dunque la retta sarà tangente alla circonferenza. Infine se il sistema non ha soluzioni allora retta e circonferenza non si intersecano: è il caso di una retta esterna alla circonferenza.

Quello che si fa tipicamente (ma lo vedremo in dettaglio in un esempio tra poco) è risolvere il sistema con il metodo di sostituzione per ottenere un'equazione risolvente di secondo grado. A seconda del Delta \(\Delta\) di questa equazione si può capire subito il numero di soluzioni del sistema e quindi la posizione della retta, in particolare:

• \(\Delta >0\): il sistema ha due soluzioni distinte e la retta è secante la circonferenza
• \(\Delta =0\): il sistema ha una sola soluzione distinte e la retta è tangente alla circonferenza
• \(\Delta <0\): il sistema non ha soluzioni e la retta è esterna alla circonferenza

Esempio

Studiamo quindi adesso la posizione della retta \(y=x+1\) rispetto alla circonferenza di equazione \(x^2 +y^2 -3x =4\).
Mettiamo a sistema le due equazioni per trovare le intersezioni: \begin{cases} y = x+1 \\ x^2+y^2-3x=4 \end{cases} L'equazione della retta è già in una forma in in cui viene esplicitata la \(y\). Sostituiamo quindi tale espressione per la \(y\) nella equazione della circonferenza: \begin{cases} y = x+1 \\ x^2+(x+1)^2-3x=4 \end{cases} da cui, risolvendo \begin{cases} y = x+1 \\ 2x^2-x-3=0 \end{cases} analizzando il delta (o risolvendo) l'equazione risolvente di secondo grado ottenuta si ha $$ \Delta = b^2-4ac = 1+24=25 \gt 0$$ essendo il delta positivo l'equazione ha due soluzioni distinte che corrispondono a due diversi punti di intersezione tra la retta e la circonferenza: la retta è dunque secante la circonferenza. Per trovare i punti di intersezione è sufficiente continuare a risolvere l'equazione per ottenere le due coordinate \(x\) dei due punti di intersezione: $$x_{1,2}= \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \longrightarrow\begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=\frac{3}{2}\end{cases}$$ e sostituire \(x_1\) e \(x_2\) nell'altra equazione per ottenere rispettivamente \(y_1\) e \(y_2\): \begin{cases} y_1= x_1+1=-1+1=0 \\ y_2=x_2+1= \frac{3}{2} +1 = \frac{5}{2}\end{cases}