Torniamo a parlare di funzioni reali di variabile reale ovvero funzioni \(f: A \to B\) dove sia \(A\) che \(B\) sono sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali (\(A \subseteq \mathbb{R}, B \subseteq \mathbb{R}\)).
Questo tipo di funzioni si possono rappresentare tramite un grafico sul piano cartesiano.
Sul piano cartesiano si suppone che l'asse delle \(x\) rappresenti il dominio della funzione, dunque \(\mathbb{R}\) o un suo sottoinsieme.
Similmente l'asse delle \(y\) rappresenterà il codominio della funzione.
Adesso ad ogni punto dell'asse \(x\), e quindi ogni punto del dominio, corrisponde un valore del codominio tramite la funzione \(f\). Tale valore si rappresenta sopra il punto in questione ad una altezza indicata dall'asse delle \(y\).
In altre parole se ad un punto \(x\) del dominio corrisponde tramite \(f\) il valore \(y\) si andrà a disegnare sul piano il punto \((x,y)\).
Il grafico di una funzione di equazione \(y=f(x)\) è l'insieme di tutti i punti del piano cartesiano \((x,y)\) dove \(x\) è un elemento del dominio della funzione e \(y\) è l'immagine di \(x\) tramite \(f\) ovvero \(y=f(x)\).
Questo procedimento andrebbe ripetuto per tutti i punti del dominio, ovvero solitamente infinite volte. Fortunatamente ci sono molte tecniche per dedurre il grafico di una funzione senza dover andare a disegnare infiniti punti sul piano cartesiano.
Sia \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la funzione che ad ogni numero reale associa il suo quadrato, ovvero \(f(x) = x^2\) o ancora, con un'altra notazione
$$\begin{align} f\colon A &\to B \\ x &\mapsto x^2 \end{align}$$
Poiché il quadrato di 2 è 4, sopra al valore \(2\) sull'asse delle \(x\) disegneremo un punto all'altezza che corrisponde al valore \(4\) sull'asse delle \(y\), vale a dire disegneremo il punto \((2,4)\).
Poiché il quadrato di \(-1\) è \(1\) disegneremo sopra il punto \(-1\) sull'asse \(x\) un punto in corrispondenza col valore \(1\) sull'asse \(y\), ottenendo il punto \((-1,1)\).
Possiamo continuare così e disegnare i valori corrispondenti ad esempio a \(f(1)=1\), \(f(3)=9\) e così via. Il tracciato in blu rappresenta tutto il grafico della funzione.
Il grafico della funzione di equazione \(f(x)=x^2\)
Con il termine variabile indipendente si indica un generico elemento \(x\) del dominio, che dipende dunque solo dalla nostra scelta. Con variabile dipendente si intende invece la \(y\), cioè un elemento del codominio che dipende quindi dalla \(x\) scelta tramite la funzione: \(y=f(x)\).