Funzioni iniettive e suriettive

Abbiamo visto la definizione di una funzione $f: A\to B$ come una relazione che ad ogni $ x\in A$ fa corrispondere uno e un solo $y \in B$. Abbiamo anche notato che ad ogni elemento di $A$ deve corrispondere un’immagine in $B$, ma non è detto che ogni elemento di $B$ abbia una controimmagine in $A$. Infine abbiamo visto che ad un elemento $x\in A$ deve corrispondere un solo elemento $y\in B$ ma non è vietato che due diversi elementi $x_1, x_2\in A$ vadano nello stesso elemento $y\in B$. È possibile escludere comportamenti di questo tipo richiedendo le proprietà aggiuntive di iniettività e suriettività.

Vediamo nel dettaglio le definizioni in questione.

Funzioni iniettive

Intuitivamente una funzione è iniettiva se non succede che due frecce vadano nello stesso elemento del codominio cioè si ha una corrispondenza “uno a uno”.

Diamo quindi la definizione:

Una funzione $f: A \to B$ si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio associa immagini distinte. In formule: dati $x_1,x_2 \in A$ $$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$

Equivalentemente si può anche richiedere che se due elementi hanno la stessa immagine, allora essi coincidono. In formule:

$$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 $$

esempi

Funzioni suriettive

Intuitivamente una funzione è suriettiva se “prende” tutti gli elementi del codominio.

Una funzione $f: A \to B$ si dice suriettiva se $f(A) =B$ ovvero se l’immagine coincide con il codominio.

Questo equivale a dire che ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio. In formula:

$$\forall y\in B \quad \exists x\in A \quad t.c. \quad f(x)=y$$

Esempi

Funzioni biunivoche

Una funzione si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.