Gli intorni

Un altro concetto fondamentale dell'analisi matematica è quello di intorno di un punto (di un numero). Intuitivamente un intorno di un punto $x_0 $ è un insieme di punti che stanno appunto "intorno" al punto $ x_0 $ che si sta considerando.

Diamo la definizione precisa:

Un intorno completo di un punto $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra contenente $x_0$.

Indichiamo un intorno completo di $x_0$ con la notazione $ I(x_0) $. Per fare un esempio se prendiamo come $x_0$ il numero 4 allora l'intervallo $ (2,5) $ è un intorno completo di 4, infatti è un intervallo aperto sia a sinistra che a destra e contiene il numero 4.

Un intorno di $x_0$ si può sempre scrivere come $$ (x_0- \delta_1, \; x_0 + \delta_2) $$ con $ \delta_1 $ e $ \delta_2 $ due numeri positivi, cioè un intervallo che ha come estremi un numero un po' più piccolo di $x_0$, $ \; x_0- \delta_1$, e un numero un po' più grande, $x_0+ \delta_2$.

Nell'esempio precedente, l'intorno $ (2,5) $ di 4 si può scrivere come $ (4- \delta_1, 4+\delta_2) $ prendendo $ \delta_1=2$ e $\delta_2 = 1 $.

Se $ \delta_1=\delta_2 $ allora l'intorno diventa simmetrico rispetto a $x_0$. In questo caso lo chiameremo intorno circolare.

Un intorno circolare di un punto $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra contenente $x_0$ della forma $$I_{\delta}(x_0) = (x_0 - \delta, \; x_0 + \delta) $$

Intorno sinistro e destro

Come vedremo ad esempio studiando i limiti, a volte è necessario vedere cosa succede solamente alla sinistra o alla destra di $x_0 $. A tal fine è utile introdurre i concetti di intorno sinistro e di intorno destro di un punto $x_0$, che altro non sono che insiemi di punti rispettivamente alla sinistra e alla destra del punto $x_0$ considerato.

Un intorno sinistro di un punto $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo destro proprio il punto $x_0$. $$I^-_{\delta}(x_0) = (x_0 - \delta, \; x_0) $$

Un intorno destro di un punto $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo sinistro proprio il punto $x_0$. $$I^+_{\delta}(x_0) = (x_0, \; x_0 + \delta) $$

Intorno di infinito

Infine è utile dare una definizione di intorno di più infinito e di meno infinito. Intuitivamente quali sono i numeri "intorno", cioè vicini a più infinito? Tutti i numeri sufficientemente "grandi". Per questo motivo definiamo intorno di più infinito un qualsiasi intervallo costituito da tutti i numeri più grandi di un certo valore M.

Un intorno di più infinito è un qualsiasi intervallo del tipo $ (M , +\infty) $ $$I(+\infty) = (M, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \gt M \}$$

Analogamente definiamo un intorno di meno infinito come l'intervallo di tutti i numeri più piccoli di un certo numero M fissato.

Un intorno di meno infinito è un qualsiasi intervallo del tipo $ (-\infty, M) $ $$I(-\infty) = (-\infty, M) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \lt M \}$$