Principio di moltiplicazione
Il principio di moltiplicazione permette di calcolare in quanti modi totali si può fare una scelta che si può effettuare in \(N\) passi.Supponiamo che una scelta si possa fare in \(N\) passi, al primo passo ci sono \(n_1\) possibilità, al secondo passo \(n_2\) possibilità e così via fino al \(N\)-esimo passo in cui abbiamo \(n_N\) possibilità. Allora il numero totale di possibilità è $$n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_N $$
Supponiamo ad esempio che un menu al ristorante proponga 3 antipasti, 4 primi e 3 secondi. Il numero di modi diversi di comporre una cena con un antipasto, un primo e un secondo è allora uguale a \(3 \cdot 4 \cdot 3 =36\).
Per capire il motivo pensiamo ad un disegno ad albero in cui al primo livello disegniamo le tre possibili scelte per l'antipasto.
A questo punto per ognuna delle scelte fatte per l'antipasto possiamo scegliere 4 primi. In totale abbiamo \(3\cdot 4 =12\) scelte
Infine per ognuna delle 12 scelte di antipasto e primo possiamo scegliere tra 3 secondi. In totale otteniamo \(12 \cdot 3= 36\) possibilità.
Se abbiamo in valigia 12 magliette, 5 pantaloni e 4 paia di scarpe in quanti modi diversi possiamo vestirci in vacanza?
Sfruttando il principio di moltiplicazione otteniamo un numero totale di \(12 \cdot 5 \cdot 4 = 240\) modi diversi di vestirsi.
Sfruttando il principio di moltiplicazione otteniamo un numero totale di \(12 \cdot 5 \cdot 4 = 240\) modi diversi di vestirsi.
Sappiamo che una password è formata da 7 caratteri. Inoltre sappiamo che 6 caratteri sono lettere dell'alfabeto o numeri mentre uno dei caratteri è una virgola che però non è né in prima né in ultima posizione. Quante possibili password ci sono con queste condizioni?
Supponiamo per un momento che la virgola occupi il secondo carattere della password.
Il primo carattere della password può essere scelto tra 26+10=36 possibilità (le lettere dell'alfabeto più i numeri).
Il secondo carattere della password è la virgola, cioè è fissato.
Il terzo carattere della password può essere scelto ancora tra 36 possibilità.
...
Il settimo carattere può essere scelto tra 36 possibilità.
Abbiamo quindi \(36 \cdot 1 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 =36^6\) possibilità in questo caso.
Avevamo però supposto che la virgola occupasse la seconda posizione mentre il realtà essa può occupare sia la seconda che la terza, la quarta la quinta o la sesta. Il ragionamento fatto sopra va dunque ripetuto per 5 volte.
Otteniamo quindi un totale di \(5 \cdot 36^6 \) possibilità.
Supponiamo per un momento che la virgola occupi il secondo carattere della password.
Il primo carattere della password può essere scelto tra 26+10=36 possibilità (le lettere dell'alfabeto più i numeri).
Il secondo carattere della password è la virgola, cioè è fissato.
Il terzo carattere della password può essere scelto ancora tra 36 possibilità.
...
Il settimo carattere può essere scelto tra 36 possibilità.
Abbiamo quindi \(36 \cdot 1 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 =36^6\) possibilità in questo caso.
Avevamo però supposto che la virgola occupasse la seconda posizione mentre il realtà essa può occupare sia la seconda che la terza, la quarta la quinta o la sesta. Il ragionamento fatto sopra va dunque ripetuto per 5 volte.
Otteniamo quindi un totale di \(5 \cdot 36^6 \) possibilità.