Verifica dei limiti tramite la definizione

Spesso viene richiesto di verificare la veridicità di un limite sfruttando la definizione, ovverò viene dato un valore \( \ell\) del limite e si chiede di dimostrare che la funzione abbia quel valore \(\ell\) come limite. Si tratta di un puro esercizio teorico che consente di prendere la mano con la complessa formalità delle definizioni sui limiti. Un altro esercizio classico che vedremo più avanti consiste invece nel calcolare il valore (sconosciuto) del limite di una funzione \(f\) data per \(x\) che tende ad un certo \(x_0\) Ricapitolando: nel primo caso viene fornito il valore del limite e si chiede di verificare che sia giusto; nel secondo il valore del limite non si sa e si chiede di calcolarlo.

Supponiamo quindi di voler verificare che $$\lim_{x \to x_0} f(x)=\ell$$ riprendiamo la definizione: $$\forall \varepsilon >0, \, \exists \delta >0 \ \mid \, x\in (x_0-\delta, x_0 +\delta)\cap D, x \neq x_0 \Rightarrow \ f(x) \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ quello che dobbiamo fare è scegliere una quantità \(\varepsilon\) generica (e proprio perché dimostreremo il tutto per epsilon generico, senza vincoli, allora varrà per tutti) e andare a verificare che la disequazione $$|f(x)-\ell| \lt \varepsilon$$ dia come risultato un intorno completo di \(x_0\).
Da dove viene la disequazione? La condizione da verificare secondo la definizione è che esista un intorno di \(x_0\) i cui punti abbiano immagine nell'intorno di \(\ell : \ (\ell-\varepsilon, \ell + \varepsilon)\). Un valore \(f(x)\) appartiene a questo intorno se e solo se \( \ell-\varepsilon \lt f(x) \lt \ell + \varepsilon \) che equivale a dire \(|f(x)-\ell| \lt \varepsilon\).
Ricapitolando risolviamo la disequazione \(|f(x)-\ell| \lt \varepsilon\) e se la soluzione è un intorno di \(x_0\) allora la definizione (che richiedeva l'esistenza di un intorno di \(x_0\) tale per cui ecc...) è soddisfatta. Se questo non succede il limite non è verificato.

Vediamo alcuni esempi concreti (può essere utile ripassare le disequazioni con valore assoluto se si hanno problemi nella risoluzione)
Verificare usando la definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito che $$\lim_{x\to 2} 2x-3=1.$$ In questo caso \(x_0=2\), \(\ell=1\) e \(f(x)=2x-3\).
La disequazione che dobbiamo impostare è: $$|f(x)-\ell|=|(2x-3)-1| < \varepsilon $$ $$|(2x-3)-1| < \varepsilon \iff -\varepsilon < (2x-3)-1 < \varepsilon \iff -\varepsilon < 2x-4 < \varepsilon$$ $$\iff 4-\varepsilon < 2x < 4+\varepsilon \iff 2-\frac{\varepsilon}{2} < x < 2+\frac{\varepsilon}{2} $$ Quindi la disequazione è soddisfatta se \(x \in (2-\dfrac{\varepsilon}{2},2+\dfrac{\varepsilon}{2})\), che è proprio un intorno completo di \(x_0=2\) e la \(\delta\) della definizione è uguale a \(\dfrac{\varepsilon}{2}\). Il limite risulta quindi verificato.
Vediamo ora quando un limite non risulta verificato.
Verificare usando la definizione SE $$\lim_{x\to 2} 2x-3=0.$$ Abbiamo \(x_0=2\), \(\ell=0\) e \(f(x)=2x-3\).
La disequazione che dobbiamo impostare è: $$|f(x)-\ell|=|(2x-3)-0| < \varepsilon $$ $$|2x-3| < \varepsilon \iff -\varepsilon < 2x-3 < \varepsilon $$ $$\iff 3-\varepsilon < 2x < 3+\varepsilon \iff 3-\frac{\varepsilon}{2} < x < 3+\frac{\varepsilon}{2} $$ Questa disequazione è soddisfatta se \(x \in (3-\dfrac{\varepsilon}{2},3+\dfrac{\varepsilon}{2})\), ma ATTENZIONE!
Questo NON è un intorno completo di \(x_0=2\)! Questo significa che il limite non risulta verificato e non è quindi corretto.
Verifichiamo ora un altro limite
Verificare usando la definizione se $$\lim_{x\to 1} \dfrac{1}{|x-1|}=+\infty.$$ Si tratta di un limite infinito per x che tende ad un valore finito. In questo caso, se leggiamo la definizione, vedremo che la disequazione da risolvere è : $$f(x)>M\qquad \mbox{ovvero} \qquad \dfrac{1}{|x-1|}>M.$$ Il limite risulterà verificato se e solo se la disequazione ammetterà come risultato un intorno completo del punto \(x_0=1\).
Risolviamo: $$\dfrac{1}{|x-1|}>M \iff |x-1|< \dfrac{1}{M} \iff -\dfrac{1}{M}< x-1 <\dfrac{1}{M}$$ $$\iff 1-\dfrac{1}{M}< x< 1+\dfrac{1}{M}$$ La disequazione ammette come soluzione un intorno completo del punto \(x_0=1\), risulta quindi verificato il limite.
Verificare usando la definizione se $$\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}=2.$$ Impostiamo la disequazione richiesta dalla definizione di limite finito per x che tende all'infinito. Questa volta la disequazione con valore assoluto $$|\dfrac{2x+1}{x-3}-2|< \varepsilon$$ deve essere verificata in un intorno di \(+\infty\). $$|\dfrac{2x+1}{x-3}-2|< \varepsilon \iff |\dfrac{2x+1-2x + 6}{x-3}|< \varepsilon \iff |\dfrac{7}{x-3}|< \varepsilon$$ $$\iff |\dfrac{x-3}{7}|> \dfrac{1}{\varepsilon} \iff |x-3|> \dfrac{7}{\varepsilon}$$ $$\iff x-3 >\dfrac{7}{\varepsilon} \qquad \mbox{oppure} \quad x-3 < -\dfrac{7}{\varepsilon}$$ $$\iff x> 3+\dfrac{7}{\varepsilon} \qquad \mbox{oppure} \quad x< 3-\dfrac{7}{\varepsilon}$$ A noi interessa un intorno di \(+\infty\), quindi teniamo solo la prima delle due soluzioni.
Osservazione: \(3+\dfrac{7}{\varepsilon}\) rappresenta il K della definizione.