Limite sinistro e destro

Abbiamo visto che quando si calcola il limite, ci si può "muovere" sull'asse delle ascisse fino al punto $x_0$ richiesto, avvicinandosi da tutte le direzioni concesse. Finora nelle definizioni non abbiamo specificato la direzione, cioè "da che lato" $x$ deve avvicinarsi al punto $x_0$ pertanto era inteso sia da destra che da sinistra. E' possibile, e in alcuni casi necessario, limitare la direzione in cui vogliamo avvicinarci al punto $x_0$. Quando indichiamo la direzione di avvicinamento parliamo di limite destro o sinistro .
Indicheremo i limiti destro e sinistro rispettivamente con i simboli $$\lim_{x \to x_0^+}f(x) \qquad e \qquad \lim_{x \to x_0^-}f(x)$$ Prendiamo ad esempio una funzione con un salto, come in figura:

La funzione è costante con valore 1 per $x\lt 1$ e costante con valore 3 per $x \ge 1 $. Provando a calcolare il limite per $x$ che tende a $x_0=1$ vediamo subito che il risultato è diverso a seconda che ci si avvicini da sinistra o da destra. Arrivando da sinistra la funzione vale sempre 1, quindi il limite non potrà essere che uguale a 1. Al contrario avvicinandosi da destra la funzione ha sempre il valore costante 3 e il limite varrà per forza di cose 3.

Vediamo come si traduce tutto questo in una definizione formale.

Sia $f:D \to \mathbb{R}$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione del dominio $D$. Si dice che per $x$ tendente a $x_0$ da destra la funzione $f(x)$ ha per limite destro il numero $\ell$ e si indica col simbolo $ \lim_{x \to x_0^{+}}f(x)=\ell $ se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0, x_0 +\delta)\cap D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ Per ogni quantità arbitraria $\varepsilon$ maggiore di zero esiste un intorno destro del punto $x_0$: $(x_0, x_0 +\delta)$, tale per cui se $x$ sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine $f(x)$ sta nell'intorno di $\ell$ : $ (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $.

Sia $f:D \to \mathbb{R}$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione del dominio $D$. Si dice che per $x$ tendente a $x_0$ da sinistra la funzione $f(x)$ ha per limite sinistro il numero $\ell$ e si indica col simbolo $ \lim_{x \to x_0^{-}}f(x)=\ell $ se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0-\delta, x_0 )\cap D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ Per ogni quantità arbitraria $\varepsilon$ maggiore di zero esiste un intorno sinistro del punto $x_0$: $(x_0- \delta, x_0)$, tale per cui se $x$ sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine $f(x)$ sta nell'intorno di $\ell$ : $ (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $.

Vale infine il seguente risultato che ci dà una relazione tra l'esistenza dei limiti destro e sinistro e l'esistenza in generale del limite

Teorema: Una funzione $f(x)$ ha limite $\ell$ per $ x \to x_0 $ se e solo se esistono e sono entrambi uguali ad $\ell$ i limiti destro e sinistro. $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell \iff \lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=\ell=\lim_{x\to x_0^{-}}f(x) $$

Questo teorema ci dice che se esiste il limite allora esistono il limite sinistro e il limite destro ed entrambi sono uguali al valore del limite della funzione. Inoltre, viceversa, se una per una funzione in un punto esistono il limite destro e il limite sinistro e questi hanno lo stesso valore allora esiste il limite "generico" della funzione in quel punto e il suo valore è uguale a quello comune dei due limiti destro e sinistro.