Limite sinistro e destro

Abbiamo visto che quando si calcola il limite, ci si può "muovere" sull'asse delle ascisse fino al punto \(x_0\) richiesto, avvicinandosi da tutte le direzioni concesse. Finora nelle definizioni non abbiamo specificato la direzione, cioè "da che lato" \(x\) deve avvicinarsi al punto \(x_0\) pertanto era inteso sia da destra che da sinistra. E' possibile, e in alcuni casi necessario, limitare la direzione in cui vogliamo avvicinarci al punto \(x_0\). Quando indichiamo la direzione di avvicinamento parliamo di limite destro o sinistro .
Indicheremo i limiti destro e sinistro rispettivamente con i simboli $$\lim_{x \to x_0^+}f(x) \qquad e \qquad \lim_{x \to x_0^-}f(x)$$ Prendiamo ad esempio una funzione con un salto, come in figura:
La funzione è costante con valore 1 per \(x\lt 1\) e costante con valore 3 per \(x \ge 1 \). Provando a calcolare il limite per \(x\) che tende a \(x_0=1\) vediamo subito che il risultato è diverso a seconda che ci si avvicini da sinistra o da destra. Arrivando da sinistra la funzione vale sempre 1, quindi il limite non potrà essere che uguale a 1. Al contrario avvicinandosi da destra la funzione ha sempre il valore costante 3 e il limite varrà per forza di cose 3.

Vediamo come si traduce tutto questo in una definizione formale.
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che per \(x\) tendente a \(x_0\) da destra la funzione \(f(x)\) ha per limite destro il numero \(\ell\) e si indica col simbolo \( \lim_{x \to x_0^{+}}f(x)=\ell \) se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0, x_0 +\delta)\cap D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ Per ogni quantità arbitraria \(\varepsilon\) maggiore di zero esiste un intorno destro del punto \(x_0\): \((x_0, x_0 +\delta)\), tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine \(f(x)\) sta nell'intorno di \(\ell\) : \( (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) \).
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che per \(x\) tendente a \(x_0\) da sinistra la funzione \(f(x)\) ha per limite sinistro il numero \(\ell\) e si indica col simbolo \( \lim_{x \to x_0^{-}}f(x)=\ell \) se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0-\delta, x_0 )\cap D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ Per ogni quantità arbitraria \(\varepsilon\) maggiore di zero esiste un intorno sinistro del punto \(x_0\): \((x_0- \delta, x_0)\), tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine \(f(x)\) sta nell'intorno di \(\ell\) : \( (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) \).

Vale infine il seguente risultato che ci dà una relazione tra l'esistenza dei limiti destro e sinistro e l'esistenza in generale del limite
Teorema: Una funzione \(f(x)\) ha limite \(\ell\) per \( x \to x_0 \) se e solo se esistono e sono entrambi uguali ad \(\ell\) i limiti destro e sinistro. $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell \iff \lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=\ell=\lim_{x\to x_0^{-}}f(x) $$
Questo teorema ci dice che se esiste il limite allora esistono il limite sinistro e il limite destro ed entrambi sono uguali al valore del limite della funzione. Inoltre, viceversa, se una per una funzione in un punto esistono il limite destro e il limite sinistro e questi hanno lo stesso valore allora esiste il limite "generico" della funzione in quel punto e il suo valore è uguale a quello comune dei due limiti destro e sinistro.