Limite per eccesso e per difetto

Una volta data la definizione di limite si può precisare ulteriormente come la funzione si sta avvicinando al limite \(\ell\): arrivando da sopra (per eccesso) oppure da sotto (per difetto).
Nota che non è detto che la funzione debba per forza tendere ad \(\ell\) per eccesso o per difetto, infatti è possibile che continui ad oscillare da sotto a sopra.

Vediamo dei grafici di funzioni di esempio per questi tre diversi comportamenti e andiamo poi a dare una definizione formale di limite per eccesso o per difetto.

Limite per eccesso

In questo caso quando \(x\) tende a \(x_0\) la funzione si mantiene "sopra" al valore del limite, ovvero per valori di \(x\) vicini a \(x_0\) il valore della funzione \(f(x)\) è sempre maggiore del valore del limite.
Un esempio di funzione per cui il limite per \(x \to x_0 \) tende ad \(\ell \) per eccesso

Limite per difetto

Nel grafico sotto, invece, quando \(x\) tende a \(x_0\) la funzione si mantiene "al di sotto" al valore del limite, ovvero per valori di \(x\) vicini a \(x_0\) il valore della funzione \(f(x)\) è sempre minore del valore del limite. Notiamo che questa affermazione non è sempre vera infatti allontanandosi da \(x_0\) il valore della funzione sale anche sopra al valore del limite ma ciò non importa: siccome ci interessa il comportamento al limite per \(x \to x_0\) è sufficiente che la proprietà sia vera in un intorno di \(x_0\).
Un esempio di funzione per cui il limite per \(x \to x_0 \) tende ad \(\ell \) per difetto


Vediamo infine nel grafico sotto un esempio di funzione il cui limte per \(x \to x_0\) non è né per eccesso né per difetto infatti non è possibile trovare un intorno di \(x_0\) tale per cui la funzione in tale intorno stia solamente al di sopra o al di sotto del valore del limite (la retta tratteggiata orizzontale).
Un esempio di funzione per cui il limite per \(x \to x_0\) non è né per eccesso né per difetto