Limite infinito di una funzione per \(x\) che tende all'infinito

Definiamo infine il caso di limite infinito per \(x\) che tende ad infinito: $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty $$ (limite per \(x\) che tende a \(+\infty\) di \(f(x)\) è uguale a \(+\infty\)).
Questa scrittura significa che se scelgo valori di \(x\) sempre più grandi, questi avranno come immagine valori di \(y=f(x)\) sempre più grandi. Più formalmente: Per ogni valore \(M\) grande a piacere che si può scegliere sull'asse delle ordinate, si può trovare un corrispondente intorno di \(+\infty\) i cui punti avranno immagine più grande di \(M\).
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione definita su un dominio \(D\) illimitato superiormente. Si dice che \(f\) tende a più infinito per \(x\) che tende a più infinito e si indica con \( \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \ \) se $$\forall M >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ >M $$ Per ogni valore arbitrario \(M\) maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di più infinito \( (K, +\infty ) \) tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel dominio \(D\)) allora la sua immagine sarà maggiore di \(M\).
Trascina il punto \(x\). Abbiamo fissato un valore \(M \) sull'asse delle ordinate. Abbiamo evidenziato che esiste un \(K \gt 0\) tale che per ogni \(x\) appartenente all'intervallo \( (K, + \infty) \) (l'intervallo azzurro nel grafico) il valore di \(f(x)\) è maggiore di \( M \).

Si possono poi definire tutti gli altri casi in cui si combina la che \(x\) tende a \(+\infty\), \(-\infty\) o a \( \infty\) genericamente e in cui il limite è \(+\infty\), \(-\infty\) o \(\infty\). Siccome le definizioni sono tutte analoghe e si possono ricavare facilmente confrontando il modo in cui abbiamo definito i vari limiti nelle lezioni precedenti non staremo qui ad elencarle tutte, ma provare a scriverne alcune è un utile esercizio!
A titolo di esempio per definire \(\lim_\limits{x \to -\infty} f(x)=\infty \) richiederemmo che $$\forall M >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x \lt -K, \, x \in D \implies \lvert f(x) \rvert >M $$