Limite infinito di una funzione per \(x\) che tende ad un valore finito

Vediamo adesso cosa significa dire che una funzione ha un limite infinito quando \(x\) tende ad un valore finito.
Andiamo quindi a definire la seguente scrittura: $$\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty$$ o più in particolare, volendo specificare se il limite è più o meno infinito $$\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty \qquad o\qquad \lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty$$ (si legge: limite per \(x\) che tende a \(x_0\) di \(f(x)\) è uguale a più infinito oppure a meno infinito).

Iniziamo definendo \( \lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty\).
In questo caso vogliamo dire che se prendiamo delle \(x\) che si avvicinano sempre più a \(x_0\), otterremo dei valori di \(y=f(x)\) sempre più grandi, cioè che tendono a più infinito. Più formalmente si può dire che, per qualsiasi valore \(M>0\) "grande a piacere" si scelga sull'asse delle ordinate, si può trovare un intorno del punto \(x_0\) sull'asse delle ascisse tale per cui, se scelgo una \(x\) in questo intorno, la sua immagine \(f(x)\) sarà più grande del valore \(M\).
Nel grafico sopra si vede una scelta di \(M\) sull'asse delle ordinate e un possibile esempio di intorno di \(x_0\) sull'asse delle ordinate (evidenziato in azzurro) tale per cui per ogni \(x\) in tale intorno l'immagine \(f(x)\) è maggiore di \(M\).

Veniamo quindi alla definizione formale:
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che la funzione tende a più infinito per \(x\) che tende a \(x_0\), e si scrive \(\lim_\limits{x \to x_0}f(x)=+\infty \) se $$\forall M >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0-\delta, x_0 +\delta)\cap D, x\neq x_0 \implies \ f(x)\ > M $$ Ovvero per ogni \(M\) maggiore di zero, esiste un \(\delta\) positivo, tale per cui se \(x\) sta nell'intorno \((x_0-\delta, x_0 +\delta)\) (e nel dominio \(D\)) ed è diversa da \(x_0\), allora la sua immagine \(f(x)\) è maggiore di \(M\).
La definizione di \( \lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty\) è analoga ma in questo caso chiederemo che la funzione stia sotto qualsiasi numero \(-M\) grande ma negativo.
Un esempio di funzione tale che \( \lim_\limits{x \to 0}f(x)=-\infty \) è la funzione \(f(x) = log(\lvert x \rvert ) \). Scelto un qualsiasi numero \(M\) grande a piacere esiste un intorno di \(x_0\) (ad esempio quello evidenziato in azzurro) tale per cui se \(x\) appartiene a tale intorno allora il valore di \(f(x)\) è minore di \(-M\)

Formalmente:
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che la funzione tende a meno infinito per \(x\) che tende a \(x_0\), e si scrive \(\lim_\limits{x \to x_0}f(x)=-\infty \) se $$\forall M >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0-\delta, x_0 +\delta)\cap D, x\neq x_0 \implies \ f(x)\ \lt -M $$ Per ogni \(M\) maggiore di zero, esiste un \(\delta\), tale per cui se \(x\) sta nell'intorno \((x_0-\delta, x_0 +\delta)\) (e nel dominio \(D\)) ed è diversa da \(x_0\), allora la sua immagine \(f(x)\) è minore di \(-M\).
In questi casi la retta \(x=x_0\) è detta asintoto verticale per la funzione. Come vedremo, si tratta di una retta alla quale la funzione si avvicina sempre di più, senza necessariamente toccarla

Infine si può indicare con la scrittura $$\lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$$ che la funzione tende ad infinito ma senza specificare se a più o a meno infinito. In questo modo si comprende (oltre ai casi visti sopra) anche il caso in cui la funzione assume valori sempre più grandi in valore assoluto man mano che ci si avvicina a \(x_0\), ma può farlo sia verso più infinito che verso meno infinito.
La definizione in questo caso è una semplice modifica delle precedenti: è il valore assoluto \( \lvert f(x)\rvert\) a diventare maggiore di \(M\), quindi \(f(x)\) può sia assumere valori positivi molto grandi sia assumere valori molto grandi ma negativi. (Ricorda che \(\lvert f(x)\rvert >M\) equivale a dire \(f(x) \gt M \ \lor \ f(x) \lt -M\) ).

La definizione formale è la seguente:
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che la funzione tende ad infinito per \(x\) che tende a \(x_0\), e si scrive \(\lim_\limits{x \to x_0}f(x)=\infty \) se $$\forall M >0 \,\ \exists \delta>0 \ : \ x \in (x_0-\delta, x_0 +\delta)\cap D, x\neq x_0 \implies \ \lvert f(x)\rvert \gt M $$ Per ogni \(M\) maggiore di zero, esiste un \(\delta\), tale per cui se \(x\) sta nell'intorno \((x_0-\delta, x_0 +\delta)\) (e appartiene al dominio \(D\)) ed è diversa da \(x_0\), allora il valore assoluto dell'imagine \(f(x)\) è maggiore di \(M\).
Un esempio di funzione tale che \( \lim_\limits{x \to 0}f(x)=\infty \). Scelto un qualsiasi numero \(M\) grande a piacere esiste un intorno di \(x_0\) (ad esempio quello evidenziato in azzurro) tale per cui se \(x\) appartiene a tale intorno allora \(\lvert f(x)\rvert \gt M \) ovvero \(f(x) \gt M \) oppure \(\ f(x) \lt -M\)