Limite finito di una funzione per \(x\) che tende ad un valore finito

Andiamo a definire la seguente scrittura: $$\lim_{x \to x_0}f(x)=\ell$$ (limite per \(x\) che tende a \(x_0\) di \(f(x)\) è uguale a \(\ell\)).

Diamo subito la definizione e cerchiamo poi di capirne con pazienza il significato intuitivo. La cosa importante è non perdersi d'animo se a prima vista sembra una lista di simboli senza senso: alla fine avrà tutto un significato chiaro e logico.
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Si dice che per \(x\) che tende a \(x_0\) la funzione \(f\) ha per limite \(\ell\) e si scrive \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\ell \) se $$\forall \varepsilon >0, \, \exists \delta >0 \ \mid \, x\in (x_0-\delta, x_0 +\delta)\cap D, x \neq x_0 \Rightarrow \ f(x) \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$$ Ovvero per ogni \(\varepsilon\) (epsilon) maggiore di zero esiste un \(\delta\) (delta) positivo tale per cui se \(x\) sta nell'intorno completo \((x_0-\delta, x_0 +\delta)\) (e nel dominio \(D\)) ed è diversa da \(x_0\), allora la sua immagine \(f(x)\) sta nell'intorno \((l-\varepsilon, l+\varepsilon)\).
Cerchiamo adesso di capire bene cosa significa intuitivamente questa scrittura che a prima vista sembra molto complicata ma che è in realtà un modo di definire chiaramente e senza possibilità di equivoco cosa significa che una funzione "tende" a un certo valore.

Il "per ogni \(\varepsilon\)", dal momento che che viene utilizzato alla fine della definizione quando si scrive \((l-\varepsilon, l+\varepsilon)\), è un modo di dire "qualsiasi intorno di \(\ell\)", anche piccolissimo (infatti spesso si dice "per ogni \(\varepsilon\) piccolo a piacere").
Quindi per ogni possibile intorno di \(\ell\) sull'asse delle ordinate, per quanto piccolo, è possibile trovare un \(\delta\) e quindi un intorno \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) di \(x_0\) sull'asse delle ascisse per cui se vado a prendere una qualsiasi \(x\neq x_0\) in questo intorno la sua immagine \(f(x)\) sarà vicina a \(l\), ovvero ad una distanza minore di \(\varepsilon\) da \(\ell\) (in formule \(f(x) \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)\)).
In generale la \(\delta\) dipende dalla \(\varepsilon\) scelta (infatti di solito si scrive \(\delta(\varepsilon) \) o \(\delta_\varepsilon\)) nel senso che in base all'\(\varepsilon\) scelto, l'intorno da prendere sull'asse delle ascisse sarà differente. L'importante è che per ogni possibile scelta di \(\varepsilon\), anche piccolissimo, si possa scegliere un \(\delta\) per cui vale quanto visto sopra.

Trascina il punto \(x\). Abbiamo fissato un \(\varepsilon\) e il corrispondente intervallo \((l-\varepsilon, l+\varepsilon) \) sull'asse delle ordinate. Abbiamo evidenziato che esiste un \(\delta\) tale che per ogni \(x\) appartenente all'intervallo \( (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \) escluso al più \(x_0\) (l'intervallo azzurro nel grafico) \(f(x)\) appartiene a \((l-\varepsilon, l+\varepsilon) \).