Limite finito di una funzione per \(x\) che tende all'infinito

Definiamo adesso i limiti in cui è la variabile indipendente \(x\) ad assumere valori sempre più grandi, cioè a tendere all'infinito. Affinchè sia possibile far tendere la \(x\) all'infinito ovviamente la funzione deve essere definita in un intorno di più o meno infinito, o almeno deve avere un dominio illimitato superiormente o inferiormente, a seconda che si voglia calcolare il limite per \(x \to +\infty\) o \(x \to -\infty\).
Andiamo a definire la seguente scrittura: $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell \qquad o\qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell $$ (limite per \(x\) che tende a più o a meno infinito di \(f(x)\) è uguale a \(\ell\)).
Questa scrittura mi sta dicendo che se si scelgono delle ascisse \(x\) sempre più grandi, la loro immagine sarà sempre più vicina al valore \(y=\ell\). Più formalmente, come al solito, se si sceglie un intorno del valore \(\ell\) sull'asse delle ordinate, dovrà esser possibilie trovare un corrispondente intorno dell'infinito sull'asse delle ascisse tale per cui ogni \(x\) che vive in questo intorno avrà come immagine un valore nell'intorno di \(\ell\).
La definizione formale di \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell \) è quindi la seguente
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione definita su un dominio \(D\) illimitato superiormente. Si dice che \(f\) ha limite \(\ell\) per \(x\) che tende a più inifinito e si indica con \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell \ \) se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria \(\varepsilon\) maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di più infinito \( (K, +\infty ) \) tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel dominio \(D\)) allora la sua immagine sta nell'intorno di \(\ell\): \((\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)\).
Trascina il punto \(x\). Abbiamo fissato un \(\varepsilon\) e il corrispondente intervallo \((\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) \) sull'asse delle ordinate. Abbiamo evidenziato che esiste un \(K \gt 0\) tale che per ogni \(x\) appartenente all'intervallo \( (K, + \infty) \) (l'intervallo azzurro nel grafico) \(f(x)\) appartiene a \((\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) \).

La definizione di \(\lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell \) è invece la seguente
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione definita su un dominio \(D\) illimitato inferiormente. Si dice che \(f\) ha limite \(\ell\) per \(x\) che tende a meno inifinito e si indica con \(\lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell \ \) $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x \lt -K , \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria \(\varepsilon\) maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di meno infinito \( (-\infty, -K ) \) tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel domino \(D\)) allora la sua immagine sta nell'intorno di \(\ell\): \((\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)\).
Si può anche definire il limite finito di una funzione per \(x\) che tende ad \(\infty\) in modo generico, cioè non solamente più o meno infinito.
In questo caso la funzione tende allo stesso limite finito \(\ell\) sia quando la \(x\) assume valori molto grandi, cioè tende a più infinito, sia quando assume valori sempre più piccoli, cioè tende a meno infinito. Formalmente la definizione si scriverebbe nel modo seguente
Sia \(f:D \to \mathbb{R}\) una funzione definita su un dominio \(D\) illimitato superiormente e inferiormente. Si dice che \(f\) ha limite \(\ell\) per \(x\) che tende a inifinito e si indica con \( \lim_{x \to \infty} f(x)=\ell \ \) se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x \in (-\infty, -K) \cup (K, \infty), \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria \(\varepsilon\) maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di infinito \( I(\infty)=(-\infty, -K) \cup (K, \infty)\) tale per cui se \(x\) sta in tale intorno (e nel dominio \(D\)) allora la sua immagine sta nell'intorno di \(\ell\): \((\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)\).
Come vedremo, quando si presenta questa situazione di limite finito per \(x\) che tende ad infinito, si dice che la retta \(y=\ell\) è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico della funzione \(f(x)\) infatti si avvicina sempre di più a tale retta man mano che la \(x\) cresce.
Talvolta, ma non necessariamente, se il limite è solo per \( x\to +\infty\), si usa dire che \(y=\ell\) è asintoto orizzontale destro mentre se il limite è solo per \( x\to -\infty\), si usa dire che \(y=\ell\) è asintoto orizzontale sinistro.

Limite per eccesso e per difetto

Come visto per il caso di limite finito per x che tende ad un valore finito si può precisare ulteriormente come la funzione si sta avvicinando al limite \(\ell\): arrivando da sopra (per eccesso) oppure da sotto (per difetto). Nota che non è detto che la funzione debba per forza tendere ad \(\ell\) per eccesso o per difetto, infatti è possibile che continui ad oscillare da sotto a sopra all'infinito.

Per indicare che \(f(x)\) tende ad \(\ell\) per eccesso (da sopra) quando \(x\) tende a più infinito scriviamo $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell^{+}$$ Scrivere la definizione di questo caso è un semplice esercizio di traduzione del caso generale: $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in [\ell, \ell+\varepsilon) $$
Analogamente per indicare che \(f(x)\) tende ad \(\ell\) per difetto (da sotto) quando \(x\) tende a più infinito scriviamo $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell^{-}$$ e nella definizione di limite questo si traduce in $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell] $$ Le definizioni di limite per eccesso o per difetto quando \(x\) tende a meno infinito sono analoghe e si possono ricavare facilmente da quelle viste sopra.