Introduzione

Un limite all'infinito

Proviamo ad avvicinarci al concetto di limite con un esempio fantasioso per iniziare a farci una prima idea.
Supponiamo che sulla terra ci siano oggi 7 miliardi di persone e centomilamiliardi (\(10^{14}\) ) di "unità di cibo". Grazie alla nascita di nuove piante e all'agricoltura il cibo disponibile aumenta di 10 miliardi di unità all'anno. Il numero di abitanti della terra, invece, supponiamo raddoppi ogni 100 anni.
Un semplice calcolo ci dice che oggi avremmo in media $$\frac{100\,000\,000\,000\,000}{7\,000\,000\,000}=\frac{10^{14}}{7\cdot 10^9}=14285$$ unità di cibo a testa.
Potremmo calcolare questo numero tra uno, due, dieci, cento anni oppure fare un passo ulteriore e chiederci "se andassimo avanti all'infinito, come evolverebbe questa situazione?"

Iniziamo provando a scrivere due funzioni che ci diano, in funzione del tempo ovvero del numero di anni passati, la quantità di cibo disponibile e la popolazione presente.
Chiamiamo \(x\) il numero di anni, allora tra \(x\) anni avremo nel mondo il numero iniziale (\(10^{14}\) ) più 10 miliardi di unità di cibo per ogni anno passato ovvero $$f(x)=10^{14}+10\,000\,000\,000\cdot x= 10^{14}+ {10}^{10}\cdot x$$ Gli abitanti della Terra sono invece raddoppiati ogni 100 anni. Il numero di abitanti sarà quindi 7 miliardi moltiplicato per due tante volte quanti sono i secoli passati, ovvero in formula $$g(x)= 7\,000\,000\,000 \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdots 2}_{\text{num secoli}} = 7\,000\,000\,000 \cdot 2^{\frac{x}{100}}$$ perché \(\frac{x}{100} \) corrisponde proprio al numero di secoli trascorsi (ad esempio se \(x=300\) anni allora \(\frac{300}{100}=3\) secoli).
Definite queste due funzioni ci basta fare $$\frac{f(x)}{g(x)}$$ per sapere la quantità di cibo a testa tra \(x\) anni. Per rispondere alla domanda di prima cioè "se andassimo avanti all'infinito con quanto cibo a testa rimarremmo" dovremmo mettere \( \infty\) al posto della \(x\). Questo non si può fare nella pratica, ma vedremo che si può calcolare il limite di tale valore quando \(x\) tende a infinito, ovvero in formule $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$$ e impareremo anche come si fa a calcolare un limite del genere. Per la cronaca nel nostro esempio il limite vale zero, malauguratamente...

Il concetto di limite

Il concetto di limite è un concetto fondamentale nel campo dell'analisi matematica e si usa per determinare il comportamento di una funzione \(y=f(x)\) quando la \(x\) si avvicina (tende) ad un certo valore \(x_0\), o all'infinito. Lo studio del limite diventa interessante quando la \(x\) si avvicina a valori in cui la funzione non è definita (agli estremi del dominio), oppure quando si vuole studiare appunto il comportamento della funzione all'infinito. Il limite è quindi un operatore che, data una funzione \(f\) ed un punto \(x_0 \) non necessariamente nel suo dominio restituisce un valore, che può essere sia finito che infinito, e che rappresenta il comportamento di \(f\) per \(x\) che si avvicina a \(x_0\).

Dove è interessante calcolare i limiti di una funzione?
Come vedremo si può calcolare il limite in qualsiasi punto di accumulazione del dominio della funzione, ma è particolarmente interessante studiarlo in quei punti che non appartengono al dominio stesso della funzione. Ricordiamo infatti che i punti di accumulazione di un insieme non devono necessariamente appartenere all'insieme stesso ma sono caratterizzati dal fatto che possiedono infiniti punti vicini che invece vi appartengono. Un punto di accumulazione per il dominio non deve quindi necessariamente appartenere al dominio, ma ha la proprietà che ci si può "avvicinare" quanto si vuole restando dentro il dominio.
Immaginiamo di avere una funzione fratta $$f(x)=\dfrac{1}{x-1}.$$ Il punto \(x=1\) non appartiene al dominio.Vediamo come si comporta la funzione vicino a questo punto per iniziare ad avere un concetto intuitivo di limite. Il grafico di questa funzione è il seguente
Osserviamo dal disegno che, se ci avviciniamo al punto di ascissa 1 stando sul ramo di destra della funzione la \(y\) diventa sempre più grande, cresce all'infinito; questo limite sarà quindi \(+\infty\). Se ci avviciniamo stando sul ramo di sinistra invece, in prossimità dell'ascissa \(x=1\) la funzione diventa sempre più piccola raggiungendo il limite di \(-\infty\)