Gli intorni

Un altro concetto fondamentale dell'analisi matematica è quello di intorno di un punto (di un numero). Intuitivamente un intorno di un punto \(x_0 \) è un insieme di punti che stanno appunto "intorno" al punto \( x_0 \) che si sta considerando.

Diamo la definizione precisa:
Un intorno completo di un punto \(x_0\) è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra contenente \(x_0\).

Indichiamo un intorno completo di \(x_0\) con la notazione \( I(x_0) \). Per fare un esempio se prendiamo come \(x_0\) il numero 4 allora l'intervallo \( (2,5) \) è un intorno completo di 4, infatti è un intervallo aperto sia a sinistra che a destra e contiene il numero 4.

Un intorno di \(x_0\) si può sempre scrivere come $$ (x_0- \delta_1, \; x_0 + \delta_2) $$ con \( \delta_1 \) e \( \delta_2 \) due numeri positivi, cioè un intervallo che ha come estremi un numero un po' più piccolo di \(x_0\), \( \; x_0- \delta_1\), e un numero un po' più grande, \(x_0+ \delta_2\).
Un intorno del punto \(x_0\)

Nell'esempio precedente, l'intorno \( (2,5) \) di 4 si può scrivere come \( (4- \delta_1, 4+\delta_2) \) prendendo \( \delta_1=2\) e \(\delta_2 = 1 \).

Se \( \delta_1=\delta_2 \) allora l'intorno diventa simmetrico rispetto a \(x_0\). In questo caso lo chiameremo intorno circolare.
Un intorno circolare di un punto \(x_0\) è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra contenente \(x_0\) della forma $$I_{\delta}(x_0) = (x_0 - \delta, \; x_0 + \delta) $$
Un intorno circolare del punto \(x_0\)

Intorno sinistro e destro

Come vedremo ad esempio studiando i limiti, a volte è necessario vedere cosa succede solamente alla sinistra o alla destra di \(x_0 \). A tal fine è utile introdurre i concetti di intorno sinistro e di intorno destro di un punto \(x_0\), che altro non sono che insiemi di punti rispettivamente alla sinistra e alla destra del punto \(x_0\) considerato.
Un intorno sinistro di un punto \(x_0\) è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo destro proprio il punto \(x_0\). $$I^-_{\delta}(x_0) = (x_0 - \delta, \; x_0) $$
Un intorno destro di un punto \(x_0\) è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo sinistro proprio il punto \(x_0\). $$I^+_{\delta}(x_0) = (x_0, \; x_0 + \delta) $$
Un intorno sinistro del punto \(x_0\)

Intorno di infinito

Infine è utile dare una definizione di intorno di più infinito e di meno infinito. Intuitivamente quali sono i numeri "intorno", cioè vicini a più infinito? Tutti i numeri sufficientemente "grandi". Per questo motivo definiamo intorno di più infinito un qualsiasi intervallo costituito da tutti i numeri più grandi di un certo valore M.
Un intorno di più infinito è un qualsiasi intervallo del tipo \( (M , +\infty) \) $$I(+\infty) = (M, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \gt M \}$$
Analogamente definiamo un intorno di meno infinito come l'intervallo di tutti i numeri più piccoli di un certo numero M fissato.
Un intorno di meno infinito è un qualsiasi intervallo del tipo \( (-\infty, M) \) $$I(-\infty) = (-\infty, M) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \lt M \}$$
Un intorno di più infinito