Asintoti verticali

Un asintoto è una retta alla quale, si usa dire, la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla. Questa definizione aiuta a dare un'idea di cosa significa per una funzione aver un asintoto, anche se in realtà la funzione può toccare anche infinite volte la retta asintotica, se questa è orizzontale o obliqua (un asintoto verticale può invece essere intersecato una sola volta, altrimenti a una x corrisponderebbero più y e verrebbe meno la definizione di funzione). Una definizione più precisa di asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente ovvero per cui è possibile rendere piccola a piacere la distanza tra le retta e la funzione, a patto di prendere \(x\) in un certo intervallo.

Se per \( x \to x_0\) (o anche solo \( x \to x_0^-\) o \( x \to x_0^+\) ) la funzione \(f\) ha limite infinito, la retta verticale \(x=x_0\) si dice asintoto verticale per il grafico di \(f\) (talvolta si parla anche di asintoto verticale sinistro e di asintoto verticale destro se se \(f(x) \to \infty \) solo per \( x \to x_0^-\) o \( x \to x_0^+\), rispettivamente).

Per individuare gli asintoti verticali è dunque sufficiente individuare i punti (del dominio di \(f\) o di accumulazione per il dominio di \(f\) ) per cui il limite è infinito.

Esempi

La funzione \(f(x)= \frac{1}{\mid x \mid} \) ha come dominio $$(-\infty , 0) \cup (0, + \infty)$$ Il punto \(x=0\) è un estremo del dominio, e se calcoliamo il limite di \(f\) per \(x \to 0 \) otteniamo $$\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$$ la retta \(x=0\) è quindi un asintoto verticale per \(f\)
La funzione \(f(x)= \frac{1}{\mid x \mid} \) ha per asintoto verticale la retta \(x=0\)
La funzione \(f(x)= \frac{x}{(x^2-1)} \) ha come dominio $$(-\infty , -1) \cup (-1,1) \cup (1, + \infty)$$ Provando a calcolare il limite di \(f\) nei punti \(x=-1\) e \(x=1\) (estremi del dominio) si ottiene $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = - \infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = + \infty$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = - \infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = + \infty$$ dunque per \(x \to -1 \) la funzione tende all'infinito (a meno infinito da sinistra e a più infinito da destra: possiamo dire genericamente "infinito" in questo caso senza specificare il segno come spiegato nella definizione).
Analogamente per \(x \to 1 \) la funzione tende all'infinito. Le due rette \(x=-1\) e \(x=1\) sono quindi due asintoti verticali per la funzione.
La funzione \(f(x)= \frac{x}{(x^2-1)} \) ha per asintoti verticali le rette \(x=-1\) e \(x=1 \)