Asintoti orizzontali

Abbiamo già accennato nella lezione sugli asintoti verticali alla definizione di asintoto come quella di una retta alla quale la funzione data si avvicina sempre di più senza mai toccarla. Abbiamo anche detto che in realtà la funzione potrebbe toccare (anche infinite volte) l'asintoto e che la definizione più corretta è quella di una retta la cui distanza dalla funzione diventa piccola a piacere a patto di prendere x in un dato intervallo. Mente per gli asintoti verticali era necessario andare a controllare il limite della funzione in un punto finito del dominio, per avere un asintoto orizzontale è necessario calcolare il limite per \(x \) che tende all'inifito (il dominio della funzione deve essere quindi illimitato).
Un esempio di funzione che ha per asintoto orizzontale destro la retta \(y=0\)

Se per \( x \to + \infty \) la funzione \(f\) ha limite finito: \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \), si dice che la retta orizzontale \(y= \ell \) è un asintoto orizzontale destro per il grafico di \(f\).
In modo analogo se è \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell \), si dice che la retta orizzontale \(y= \ell \) è un asintoto orizzontale sinistro.
Infine se il limite è finito ed uguale sia per x che tende a più infinito sia per x che tende a meno infinito (\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell \) ) la retta \(y= \ell\) si può chiamare semplicemente asintoto orizzontale

Per individuare (eventuali) asintoti orizzontali è dunque sufficiente calcolare i limiti a più e meno infinito (se il dominio di \(f\) è illimitato superiormente o inferiormente).

Esempi

La funzione \(f(x)= \frac{1}{x} +1 \) ha come limite per x che tende a più o a meno infinito $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$$ la retta \(y=1\) è quindi un asintoto orizzontale per \(f\)